📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

太陽のまわりを回る惑星について、円運動（万有引力 = 向心力）から速さ \(v\) と周期 \(T\) を導出すると、\(T^2/r^3\) は太陽の質量と \(G\) だけで決まる定数になります。これがケプラーの第三法則の物理的起源。さらに2つの惑星のエネルギーを比較すると、「\(E\) が小さい（より負の）惑星ほど内側で速い」というパラドックス的な関係が見えます。

イメージは「深い井戸の底に居る方が動きが激しい」。重力場のポテンシャル井戸が深いほど、衛星は強く引っ張られ、円軌道を維持するために速く回らないといけない。

✏️ 求めるもの

[A] 万有引力 = 向心力から \(v, T\) を導き、\(T^2/r^3\) が定数であることを示す。
[B] 運動エネルギー \(K\) と力学的エネルギー \(E\) を求める。\(E_A < E_B\) のとき、\(v_A\) と \(v_B\) の大小関係。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

3本のカーブ（K, U, E）はすべて \(r\) が小さいほど絶対値が大きい
\(K\)（赤）は正、\(U\)（青）と \(E\)（緑）は負。\(K = -U/2 = -E\) の関係
\(r\) が小さいほど \(E\) はより負（小さい）になる。これは「太陽に近いほど深い井戸 = 強く束縛」を意味する

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

万有引力 = 向心力：\(\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}\) → \(v = \sqrt{GM/r}\)
周期：\(T = \dfrac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}\)
ケプラー第三法則：両辺2乗 → \(T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM} r^3\) → \(\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}\)
エネルギー：\(K = \dfrac{GMm}{2r}\)、\(E = -\dfrac{GMm}{2r} = -K\)

[A](1) 速さ：万有引力 = 向心力で \(v\) を出す
[A](2) 周期：\(T = 2\pi r/v\)
[A](3) 第三法則：\(T^2\) を計算し、\(r^3\) で割る。\(m\)（惑星の質量）も \(r\) も消えて、\(M\)（中心天体の質量）と \(G\) だけ残る
[B](1) エネルギー：\(K = \frac{1}{2}mv^2\) に \(v^2 = GM/r\) を代入。\(E = K + U = K + (-2K) = -K\)
[B](2) 大小関係：\(E = -GMm/(2r)\) より、\(E\) が小さい（より負）→ \(r\) が小さい → \(v\) が大きい

注意

「\(E\) が小さい → 速さも小さい」と思いがちですが逆です。\(E\) が小さい（より負）ということは、深い井戸の底に居て強く束縛されている状態。そこで円軌道を維持するためには大きな速度が必要なのです。\(K\) は \(E\) と逆符号の関係（\(K = -E\)）にあることを覚えておきましょう。

💡 ヒント：ケプラーの第三法則と惑星の力学的エネルギー

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💡 考え方のヒント