📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

地表では重力加速度は \(g_0\)。では地表から高さ \(h\) ではどうなる？ 地球の中心からの距離が \(R\) から \(R+h\) に増えるので、距離の2乗に反比例する万有引力の式から、重力加速度も \(\left(\dfrac{R}{R+h}\right)^2\) 倍に弱まります。

イメージは「地球から離れるほど引力が弱まる」。よくある誤解は「\(R+h\) ではなく \(h\) で計算する」こと。万有引力は地球の中心からの距離で考えるので、\(h\) ではなく \(R+h\) を使います。

✏️ 求めるもの

(1) 高度 \(h\) での重力加速度 \(g'\) を \(g_0, R, h\) で表す。
(2) \(h = R\) のときの \(g'\)（地球の中心からの距離が \(2R\) になる）。
(3) \(h = 2R\) のときの \(g'\)（地球の中心からの距離が \(3R\) になる）。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

高度 \(h\) を上げると、重力加速度（赤い矢印）が急速に短くなる
\(h = R\)（地球の中心からの距離2倍）で重力は1/4倍に、\(h = 2R\)（中心から3倍）で1/9倍になる
「距離が \(n\) 倍 → 重力が \(1/n^2\) 倍」のパターンを覚えよう

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

地表の重力：\(g_0 = \dfrac{GM}{R^2}\)
高度 \(h\) の重力：\(g' = \dfrac{GM}{(R+h)^2}\)（中心からの距離が \(R+h\)）
比をとって \(GM\) を消す：\(\dfrac{g'}{g_0} = \left(\dfrac{R}{R+h}\right)^2\)

2つの場所で立式：地表と高度 \(h\) でそれぞれ \(g\) の式を書き、比をとる
分数の2乗の形に整理：\(g' = g_0 \left(\dfrac{R}{R+h}\right)^2\) の形で答える
具体値を代入する：\(h = R\) → 中心距離 \(2R\) → \(g_0/4\)。\(h = 2R\) → 中心距離 \(3R\) → \(g_0/9\)

注意

距離は地球の中心から。\(h\) ではなく \(R+h\) を使うこと。地表は \(R\)、高度 \(R\) なら中心から \(2R\)、高度 \(2R\) なら中心から \(3R\) です。「重力が1/4」は \(h\) が \(R\) のとき、ではなく中心距離が \(2R\) のときです。

💡 ヒント：高度 h での重力加速度

📋 問題の状況を整理しよう

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💡 考え方のヒント