直感的理解

万有引力の式 \(F = GMm/r^2\) を使うとき、\(G\) や \(M\) の数値を覚えていなくても、地表での重力加速度 \(g_0\) と地球の半径 \(R\) を知っていれば、\(GM = g_0 R^2\) という関係から計算できます。これは入試で絶対に使うテクニック。

イメージは「地表で \(g_0\) と \(R\) を測れば、地球の質量や万有引力定数の組み合わせ \(GM\) が一発で出る」。あとはどんな高さ \(r = R + h\) でも、\(g = GM/r^2 = g_0 R^2/r^2\) で計算できます。

✏️ 求めるもの

(1) \(GM\) と \(g_0, R\) の関係。
(2) 高度 \(h\) での重力加速度 \(g'\)（\(GM\) を使わずに \(g_0, R, h\) で表す）。
(3) \(h = R\) のとき、質量 \(m\) の物体にはたらく重力 \(W\)。

👀 観察のポイント

🔧 使う道具

(1) \(GM\) を導出：地表で「万有引力 = 重力」を立式し、\(GM = g_0 R^2\) を得る
(2) 高度 \(h\) で代入：\(g' = GM/(R+h)^2\) に \(GM = g_0 R^2\) を代入。これで \(g_0, R, h\) のみの式になる
(3) \(h = R\) を代入：中心からの距離は \(2R\) なので、\(g' = g_0 R^2/(2R)^2 = g_0/4\)。重力は \(W = mg_0/4\)

注意

「重力 \(W\)」と「重力加速度 \(g'\)」を混同しないこと。\(W = mg'\) で、\(W\) は力（N）、\(g'\) は加速度（m/s²）です。\(GM = g_0 R^2\) はこれ以降の問題でも繰り返し使うので、自分で導出できるようにしておきましょう。

💡 ヒント：地表との関係 GM = g₀R²