💡 ヒント：月の公転から地球の質量を求める

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

月は地球のまわりを等速円運動しているとみなします。このとき、月にはたらく万有引力がちょうど向心力になっています。「外向きの遠心力」と「内向きの引力」が釣り合っている、と考えてもOK。この条件式から、月の質量を消去して地球の質量 \(M\) を求められます。

イメージは「ハンマー投げ」。ロープが万有引力、ハンマーが月。ロープの張力（引力）が円運動を維持する向心力になっているわけです。

✏️ 求めるもの

(1) 地球の質量 \(M\) を、月の公転半径 \(r\)、周期 \(T\)、万有引力定数 \(G\) で表す。
(2) 地球が1回自転（周期 \(T_0\)）する間に、月が公転する角度 \(\Delta\theta\)。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. 等式を立てる：「万有引力 = 向心力」と書く。\(GMm/r^2 = 4\pi^2 mr/T^2\)
  2. \(m\) を消去：両辺を \(m\) で割ると、月の質量が消える。これがポイント
  3. \(M\) について解く：\(M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}\) の形に変形（分母分子の \(r\) と \(T\) の指数に注意）
  4. (2) 角度の計算：角速度 \(\omega = 2\pi/T\)、時間 \(T_0\) で進む角度は \(\omega T_0 = 2\pi T_0/T\)
注意

向心力の式は \(mv^2/r\) でも \(mr\omega^2\) でも \(mr(2\pi/T)^2\) でも同じです。問題で \(T\)（周期）が与えられているなら \(mr(2\pi/T)^2\) が使いやすい。\(M\) の式の指数は \(r^3, T^2\) の組み合わせ。これはケプラーの第三法則と同じ形（\(T^2 \propto r^3\)）です。