💡 ヒント：人工衛星の力学的エネルギー

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

円軌道を回る人工衛星について、運動エネルギー \(K\)、万有引力による位置エネルギー \(U\)、力学的エネルギー \(E = K + U\) を求めます。万有引力 = 向心力の関係から速さ \(v\) が決まり、それを使って \(K\) が計算できます。\(U\) は無限遠を基準とした \(U = -GMm/r\)。

イメージは「衛星は地球に束縛された状態」。\(E < 0\) のときだけ束縛されており、\(E \geq 0\) になると地球から脱出できます。エネルギーバーで \(K, U, E\) の符号関係を覚えるのが早道。

✏️ 求めるもの

(1) 円軌道上での速さ \(v\)。
(2) 運動エネルギー \(K\)。
(3) 万有引力による位置エネルギー \(U\)。
(4) 力学的エネルギー \(E\)。すべて \(g, R, m, r\) で表す。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. (1) 速さ：万有引力 = 向心力から \(v^2\) を出し、\(GM = gR^2\) で書き換えて \(v = R\sqrt{g/r}\)
  2. (2) 運動エネルギー：\(K = \frac{1}{2}mv^2\) に \(v^2\) を代入。\(GMm/(2r) = gR^2 m/(2r)\)
  3. (3) 位置エネルギー：\(U = -GMm/r = -gR^2 m/r\)。負の値であることを忘れずに
  4. (4) 力学的エネルギー：\(E = K + U\) を計算。共通分母にして加減すると \(E = -gR^2 m/(2r) = -K\)
注意

位置エネルギーは負です（無限遠を基準にしたとき）。「\(U = GMm/r\)」と符号を間違えると \(E\) が正になり、束縛されないことになって不自然です。覚え方：「無限遠で 0 → 近づくほど低くなる → 負」。