直感的理解

地表から鉛直に打ち上げて、高さ \(h\) の円軌道に乗せる場合の最小打ち上げ速度 \(v_0\) を求めます。エネルギー保存則を「地表（\(r=R\)）」と「軌道上（\(r=R+h\)）」で立てれば、必要な \(v_0\) が計算できます。

イメージは「地表で運動エネルギーを与えて、軌道上で必要な速さに減速する」。打ち上げの際は位置エネルギーの増加と軌道速度（運動エネルギー）の獲得の両方を考える必要があります。

✏️ 求めるもの

(1) 軌道半径 \(r = R+h\) の円軌道での速さ \(v\)。
(2) 軌道上の力学的エネルギー \(E_{\text{orbit}}\)。
(3) 地表から打ち上げるのに必要な最小速度 \(v_0\)。

👀 観察のポイント

🔧 使う道具

軌道速度：\(v^2 = GM/(R+h) = gR^2/(R+h)\)
軌道上のエネルギー：\(E_{\text{orbit}} = -GMm/(2(R+h)) = -gR^2 m/(2(R+h))\)
地表のエネルギー：\(E_{\text{surface}} = \frac{1}{2}mv_0^2 - GMm/R = \frac{1}{2}mv_0^2 - gRm\)
エネルギー保存：\(E_{\text{surface}} = E_{\text{orbit}}\)

(1) 軌道速度：万有引力 = 向心力を半径 \(R+h\) で立てる
(2) 軌道エネルギー：\(K + U = \frac{1}{2}mv^2 - GMm/(R+h)\) に \(v^2\) を代入。打ち消し合って \(-GMm/(2(R+h))\)
(3) 打ち上げ速度：地表で \(\frac{1}{2}mv_0^2 - gRm = -gR^2 m/(2(R+h))\) を立て、\(v_0^2\) について解く
整理：共通分母をとって \(\frac{1}{2}v_0^2 = \dfrac{gR(R + 2h)}{2(R+h)}\) → 平方根

注意

地表の位置エネルギーは0ではなく \(-GMm/R\)（無限遠基準だから）。「地表 = 0」と思って \(\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh\) と立てるのは誤り（ただし \(h \ll R\) のときの近似としては OK）。今回は厳密に計算する必要があります。

💡 ヒント：人工衛星の打ち上げ速度