💡 ヒント：だ円軌道（近地点・遠地点）

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

だ円軌道では、地球に最も近い点（近地点）で速さが最大、最も遠い点（遠地点）で速さが最小になります。これはケプラーの第二法則（面積速度一定）の現れ。近地点・遠地点では速度が位置ベクトルに垂直になるので、角運動量保存則が \(r_1 v_1 = r_2 v_2\) のシンプルな形で使えます。

イメージは「投げ縄を振り回すとき、ロープを短く持つと早く回り、長くするとゆっくり回る」。距離 × 速さ ＝ 一定、です。

✏️ 求めるもの

(1) 近地点と遠地点での速さの関係（\(v_1\) と \(v_2\) を結びつける式）。
(2) 近地点の速さ \(v_1\) と遠地点の速さ \(v_2\) を、\(g, R, r_1, r_2\) で表す。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. (1) 角運動量保存：近地点と遠地点で「\(r \times v\)」が等しい。\(r_1 v_1 = r_2 v_2\) を立てる
  2. (2) 連立方程式に：角運動量保存（\(v_2 = (r_1/r_2)v_1\)）と力学的エネルギー保存を立て、\(v_2\) を代入して \(v_1\) について解く
  3. 因数分解：\(1 - r_1^2/r_2^2 = (r_2-r_1)(r_2+r_1)/r_2^2\) と因数分解。\(1/r_1 - 1/r_2 = (r_2-r_1)/(r_1 r_2)\) と通分
  4. (\(r_2 - r_1\)) で割る：両辺の共通因数を消すと、対称な形 \(v_1^2 = \dfrac{2gR^2 r_2}{r_1(r_1+r_2)}\) が得られる
注意

角運動量保存 \(r_1 v_1 = r_2 v_2\) は近地点と遠地点でだけこのシンプルな形で成り立ちます（ここで速度が位置ベクトルに垂直になるから）。途中の点では一般に \(r v \sin\theta\) を考える必要があります。「だ円軌道は2つの保存則（角運動量＋エネルギー）で解く」のが定石。