直感的理解

人工衛星は地球のまわりを等速円運動しています。万有引力がちょうど向心力になっており、これが円軌道を維持する鍵。「軌道半径が大きいほど引力は弱まり、必要な速さも小さくなる」「外側ほど周期が長い」というスケーリングを覚えると、半径が変わったときの比較問題（設問(2)）も瞬時に解けます。

イメージは「人工衛星 = 落ち続けているけど地表に届かない物体」。十分な水平速度があれば、地球が丸い分だけ地表が逃げていくので、永遠に落下し続けることになります。これが軌道です。

✏️ 求めるもの

(1) 地表すれすれ（\(r = R\)）の円軌道を回る衛星の速さ \(v\) と周期 \(T\) を、\(G, M, R\) で表す。
(2) 高さ \(R\) の円軌道（\(r = 2R\)）にしたとき、速さと周期が(1)の何倍になるか。

👀 観察のポイント

🔧 使う道具

(1) 立式：万有引力 = 向心力で \(v\) を出し、\(T = 2\pi r/v\) で周期を出す。\(r = R\) を代入
(2) 比の計算：\(r\) を \(R\) から \(2R\) に変えるので、速さは \(\sqrt{R/2R} = 1/\sqrt{2}\) 倍。周期は \((2R/R)^{3/2} = 2\sqrt{2}\) 倍
有理化：\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) は \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) と書く（分母を有理化）

注意

「高さ \(R\)」と「軌道半径 \(R\)」を混同しないこと。地表からの高さが \(h\) なら、軌道半径は \(R + h\) です。設問(2)は高さ \(R\) なので軌道半径は \(R + R = 2R\)。\(2^{3/2} = 2\sqrt{2}\) は頻出なので暗記推奨。

💡 ヒント：人工衛星の運動（円軌道の速さ・周期）