💡 ヒント：応用 熱膨張（異種金属の測定）

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

高温状態のしんちゅう定規で鉄棒を測ると、定規自体も膨張しているため、目盛りの長さが 0 °C とは少し違います。「定規で測った値」と「実際の長さ」を区別する必要があります。

さらに、鉄棒自身も温度によって長さが変わります。最終的に0 °C における鉄棒の長さを求めるには、「定規の膨張」と「鉄棒の膨張」の両方を考えます。

✏️ 求めるもの

0 °C における鉄棒の正しい長さ \(L_{\text{鉄},0}\)〔mm〕。測定時の温度・測定値・しんちゅうの線膨張率・鉄の線膨張率が必要。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. 定規の膨張を補正：T °C の定規で読んだ値 \(L_{\text{読}}\) は、実際にはもう少し長い。\(L_{\text{鉄}}(T) = L_{\text{読}} (1 + \alpha_{\text{定}} T)\)
  2. 鉄棒の温度補正：T °C で \(L_{\text{鉄}}(T)\)、0 °C に冷ますと縮む。\(L_{\text{鉄}}(T) = L_{\text{鉄}}(0) (1 + \alpha_{\text{鉄}} T)\)
  3. 0 °C の長さを求める：\(L_{\text{鉄}}(0) = \dfrac{L_{\text{鉄}}(T)}{1 + \alpha_{\text{鉄}} T}\)
  4. 近似式を使う：\(\alpha T\) が小さいので \((1 + \alpha T)^{-1} \fallingdotseq 1 - \alpha T\)。最終的に \(L_{\text{鉄}}(0) \fallingdotseq L_{\text{読}} [1 + (\alpha_{\text{定}} - \alpha_{\text{鉄}}) T]\)
注意

線膨張率の差 \(\alpha_{\text{定}} - \alpha_{\text{鉄}}\) が正なら、定規の膨張の方が大きい → 読み値は実際より短い → 0 °C での長さは読み値より長い。符号の方向を物理的に考えてチェックしよう。