💡 ヒント：熱気球が浮く条件

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

熱気球は気球内部の空気を温めることで浮きます。なぜ浮くのかというと、温めた空気は密度が小さくなるからです。気球には下側に開口部があるので、内外の圧力は等しい（大気圧）。すると状態方程式 \(pV = nRT\) より、同じ圧力・同じ体積では、温度が高い方が物質量（＝空気の重さ）が少なくなります。

浮くための条件は「気球に働く浮力」が「気球本体（布）＋内部の温かい空気」の合計の重さを超えること。浮力は周囲の冷たい空気の重さに等しい（アルキメデス）。

✏️ 求めるもの

(1) 温度 \(T\) での気球内の空気の密度 \(\rho\)、(2) 気球が浮く最低温度 \(T\)。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. (1) 密度を温度の関数で：内部も外部も同じ圧力 \(p_0\)、体積 \(V\)。密度 \(\rho = \dfrac{p_0 M}{RT}\) より、温度が上がると密度が下がる
  2. (2) 外気の密度を基準に：外気温度 \(T_0\) での密度 \(\rho_0 = \dfrac{p_0 M}{R T_0}\)。内部温度 \(T\) での密度 \(\rho = \rho_0 \cdot \dfrac{T_0}{T}\)
  3. 浮揚条件を立てる：\(\rho_0 V g \geq M_{\text{本体}} g + \rho V g\)（両辺の g を消去）
  4. \(T\) について解く：不等式を整理すると \(T \geq T_0 \cdot \dfrac{\rho_0 V}{\rho_0 V - M_{\text{本体}}}\) の形（具体的な式変形は本文参照）
注意

熱気球の開口部があることは非常に重要。これがあるから内外の圧力が等しくなり、密度の差だけで浮力を議論できる。もし密閉気球なら、温度を上げると内部の圧力が上がり、体積変化も考える必要があり話が複雑になる。また、気球の「浮揚条件」は\(\text{不等式}\)なので、境界（等号）で最低温度を求める。