📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

立方体の容器に気体が閉じ込められています。分子は壁にぶつかっては跳ね返る運動を繰り返し、その衝突の勢いが合計されて圧力になります。

イメージは「雨粒が傘に当たり続けると、傘が押される」。雨粒 1 粒の力は小さくても、たくさん衝突すれば大きな押し力になる。これが気体分子と壁の関係です。

✏️ 求めるもの

立方体容器内の分子 1 個の運動から、壁にはたらく力・圧力・分子の平均運動エネルギーを関係づける。それぞれの小問で「1 個あたり」と「全分子での合計」を取り違えないように。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

分子が右の壁にぶつかる瞬間に赤い光が出る（＝衝撃）
分子数を増やすと、壁への衝突回数が増える（圧力が大きくなる理由）
1 個の分子は速度 \(v_x\) で飛び、壁にぶつかって跳ね返ると速度が \(-v_x\) になる

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

1 回の衝突での運動量変化：\(\Delta p = 2 m v_x\)（跳ね返りで速度が逆向きになるため）
単位時間の衝突回数：\(\dfrac{v_x}{2L}\)（分子が壁から壁まで往復する時間が \(2L/v_x\)）
分子 1 個が壁に与える平均力：\(f = \dfrac{m v_x^2}{L}\)
全分子で合計：\(F = N \cdot \dfrac{m \overline{v_x^2}}{L}\)。さらに \(\overline{v_x^2} = \dfrac{1}{3}\overline{v^2}\) を使う
圧力の定義：\(P = F / L^2\)、体積 \(V = L^3\)

1 個あたりの運動量変化を出す：跳ね返りは速度が逆向きになるので、変化量は \(2 m v_x\)
衝突頻度を出す：1 往復にかかる時間 \(2L/v_x\) の逆数が 1 秒あたりの衝突回数
力 = 運動量変化 × 衝突回数：これで分子 1 個が壁に与える平均力 \(f = m v_x^2 / L\)
全分子で合計・平均をとる：等方性 \(\overline{v_x^2} = \overline{v^2}/3\) を使って \(\overline{v^2}\) に変換
圧力と温度を結ぶ：\(PV = \tfrac{1}{3} N m \overline{v^2}\) と \(PV = nRT\) を比べて平均運動エネルギーを得る

注意

1 回の衝突では運動量が \(2 m v_x\) 変化する（\(mv_x\) ではない）。跳ね返りで符号が変わるので差は \(v_x - (-v_x) = 2 v_x\)。また、\(\overline{v_x^2} = \overline{v^2}/3\) は x, y, z の 3 方向が対等であるという「等方性」から出てくる関係式。

💡 ヒント：気体分子の運動と圧力

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💡 考え方のヒント