直感的理解

閉じた容器の中で気体分子が飛び回り、壁に衝突して圧力を生み出している状況です。気体分子の平均運動エネルギーと温度の関係、および二乗平均速度と温度の関係を結びつけます。

イメージは「ダンスフロアで人が動き回る。温度 = 音楽のテンポ、分子の速さ = 人の移動速度」。テンポが速いと人も速く動き、ぶつかる頻度・勢いも増える。

✏️ 求めるもの

気体分子の運動エネルギーや二乗平均速度が、絶対温度 \(T\) とどんな式で結びついているかを問われている。気体分子運動論の基本式を正しく使い分けるのが鍵。

👀 観察のポイント

🔧 使う道具

圧力と運動：\(PV = \dfrac{1}{3} N m \overline{v^2}\)
状態方程式：\(PV = nRT\)
1 分子の平均運動エネルギー：\(\overline{\varepsilon} = \dfrac{1}{2} m \overline{v^2} = \dfrac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T\)
ボルツマン定数と気体定数：\(k_{\mathrm{B}} = R / N_{\mathrm{A}}\)

運動論と状態方程式を等号で結ぶ：\(\tfrac{1}{3} N m \overline{v^2} = nRT\)
\(N = n N_{\mathrm{A}}\) を使う：分子数 \(N\) をモル数 \(n\) に置き換えると、整理して \(\tfrac{1}{2} m \overline{v^2} = \tfrac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T\) が出る
二乗平均速度を求めるなら：\(\overline{v^2} = \dfrac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}\) から \(\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{3 k_{\mathrm{B}} T / m}\)

注意

\(\overline{v}^2\)（平均値の二乗）と \(\overline{v^2}\)（二乗の平均）は違う量。気体分子運動論で使うのは二乗の平均のほう。記号の上の線が何にかかっているかに注意。

💡 ヒント：気体分子の運動