📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

天井 O から同じ長さ \(l\) の糸で吊るされた等量正電荷 A, B の 2 球が、互いに反発して V 字型に静止する問題です。記号のまま全量を導出する「文字式」問題で、\(\theta\) と \(q, m, l, k, g\) を使って各量を表します。

5 つの小問：(1) 静電気力 \(F\)、(2) O 点の合成電場 \(\vec E\)、(3) O 点の電位 \(V_O\)、(4) 糸の張力 \(T\)、(5) 質量 \(m\)。段階的に進みます。

✏️ 求めるもの

5 つの量（\(F, \vec E, V_O, T, m\)）をすべて \(\theta, q, l, k, g\) の文字式で表す。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

A, B 配置は O を中心に左右対称
AB 間距離 \(r = 2l\sin\theta\)（幾何で求まる）
OA = OB = \(l\)（糸の長さで一定）
O 点での合成電場：対称性から水平成分は打ち消し合う
O 点での電位：各電荷からの寄与を足すだけ（ベクトル不要）

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

3 力のつりあい：水平 \(F = T\sin\theta\)、鉛直 \(mg = T\cos\theta\)
クーロンの法則：\(F = k\dfrac{q^2}{r^2}\)、\(r = 2l\sin\theta\)
O での電場：\(E_A = E_B = k\dfrac{q}{l^2}\)（OA = OB = \(l\)）
電場の対称合成：水平成分は打ち消し、鉛直成分 \(\cos\theta\) が 2 倍
電位の加算：\(V_O = 2 \cdot k\dfrac{q}{l}\)（スカラー）

(1) F：つりあいから \(F = mg\tan\theta\)
(2) O の合成電場：各電荷が O に作る電場 \(E_0 = kq/l^2\)、対称性から鉛直成分 \(2E_0\cos\theta = \dfrac{2kq\cos\theta}{l^2}\)、向きは鉛直下向き
(3) O の電位：スカラー加算で \(V_O = 2 \cdot \dfrac{kq}{l}\)
(4) 張力 T：鉛直のつりあいから \(T = \dfrac{mg}{\cos\theta}\)。クーロン力の形で表すには \(F\) を使って整理
(5) 質量 m：\(F = mg\tan\theta\) を \(m\) について解き、\(F = k q^2/r^2\) を代入

注意

(2) は電場（ベクトル）の合成、(3) は電位（スカラー）の加算で、計算法が全く違います。電場では対称性で一部が打ち消し合い、電位ではそのまま加算される点を混同しないこと。また AO = BO = \(l\) であって、\(r = 2l\sin\theta\) はAB 間の距離です（使い分ける場所に注意）。

💡 ヒント：帯電した小球のつりあい（応用）

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💡 考え方のヒント