📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

「30° で投げたボール」と「60° で投げたボール」は、同じ場所に着地するという不思議な性質を持ちます。30° は低い軌道で短時間飛ぶ。60° は高い軌道で長時間飛ぶ。両者の水平到達距離が偶然一致するのはなぜか？

カギは公式 \(L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}\) の中にあります。\(\sin\) の対称性を考えると、補角の関係（\(\theta\) と \(90° - \theta\)）は同じ \(\sin 2\theta\) の値を持つはず。最大値はどのとき？を考えてみよう。

✏️ 求めるもの

(1) 30° と 60° で水平到達距離が等しくなる理由を式で示す、(2) 水平到達距離が最大になる投射角を求める。両方とも公式 \(L = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}\) と \(\sin\) 関数の性質から考える。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

θ と 90° − θ の到達点が完全に一致することを確認（オレンジ点線）
角度を 5°, 10°, 20° と変えても、いつも「θ と 90° − θ」の到達点は同じ
緑の軌道（中間の角度）と他の2つを比べて、どれが最も遠くまで届くか観察しよう
最高点の高さは違う（高角度の方が高い）が、水平到達距離は同じ

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

水平到達距離の公式：\(L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}\)
\(\sin\) の対称性：\(\sin(180° - x) = \sin x\)（補角の \(\sin\) は等しい）
\(\sin\) の最大値：\(\sin x\) は \(x = 90°\) で最大値 1 をとる
30° と 60° の関係：30° + 60° = 90°（補角の関係）

(1) 30° のときの \(L\)：\(L_{30} = \dfrac{v_0^2 \sin 60°}{g}\)（\(2\theta = 60°\)）
(1) 60° のときの \(L\)：\(L_{60} = \dfrac{v_0^2 \sin 120°}{g}\)（\(2\theta = 120°\)）。\(\sin 60° = \sin 120°\) なので両者一致
(2) 一般に \(\theta\) と \(90° - \theta\)：\(2(90° - \theta) = 180° - 2\theta\)。\(\sin(180° - 2\theta) = \sin 2\theta\)
(2) 最大の角度：\(L\) を最大にするには \(\sin 2\theta\) を最大にすればよい。\(\sin x\) が最大になるのは \(x\) がいくつのとき？そこから \(2\theta\) の値、そして \(\theta\) を求めよう

注意

「\(\sin\) の最大は引数 = 90°」がポイント。求めるのは \(\sin 2\theta\) の最大なので、\(2\theta\) が 90° になる \(\theta\) を考える。「\(\theta\) 自身が 90°」と勘違いしないこと！補角の関係（\(\theta\) と \(90° - \theta\)）から、たとえば 20° と 70°、35° と 55° なども同じ到達距離になる。ただし最高点の高さは違う（鉛直成分が違うから）。空気抵抗を考えると、最適角度は理論値よりやや小さくなる（野球のフライで 35〜40°）。

💡 ヒント：考えてみよう（30°と60°、最大到達距離）

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🔬 シミュレーションで体感

💡 考え方のヒント