💡 ヒント：人工衛星の速さと周期

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

地球（質量 \(M\)）のまわりを半径 \(r\) の円軌道で回る人工衛星の問題です。衛星に働くのは地球の重力（万有引力）だけ。この引力が衛星を「真っ直ぐ進ませず、地球に向かって曲げ続ける」ことで円運動が成立します。つまり万有引力 = 向心力。

イメージは「ボールを投げ続けたら、ちょうど地面と同じだけ落ちて永遠に落下し続ける」状態。ニュートンが思い描いた人工衛星のアイデアそのものです。

✏️ 求めるもの

軌道速度 \(v\) と公転周期 \(T\)。\(r\) と地球質量 \(M\)（または重力加速度 \(g\) と地球半径 \(R\)）から導出します。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. 力の正体を見抜く：衛星にはたらく力は万有引力のみ。これが向心力を与える
  2. 等式を立てる：\(\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}\) → \(v\) について解くと \(v = \sqrt{GM/r}\)
  3. \(GM\) を地表条件で消す：\(GM = gR^2\) を使うと、\(g\) と \(R\) で書き直せる（問題で \(M\) が与えられない場合の定石）
  4. 周期は円周÷速さ：\(T = 2\pi r / v\) に代入。\(T\) は \(r^{3/2}\) に比例（ケプラーの第3法則）
注意

「軌道半径 \(r\)」と「地球半径 \(R\)」を混同しない。\(r\) は地球の中心から衛星までの距離（\(R + h\)、\(h\) は高度）。また、\(GM\) は直接測りにくいので \(GM = gR^2\) で書き換える技は頻出。覚えておこう。