💡 ヒント：宇宙速度

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

「ある速さで物体を投げると、地球を一周する円軌道に乗る」その速さが第一宇宙速度 \(v_1\)。「もっと速く投げると地球の重力を振り切って二度と戻ってこない」その速さが第二宇宙速度 \(v_2\)（脱出速度）。前者は力のつり合い、後者はエネルギー保存で決まります。

イメージは「ボールを横に投げると放物線で落ちる → 速くすると遠くまで飛ぶ → さらに速くすると地球を一周 → さらに速くすると二度と戻ってこない」。\(v_1\) と \(v_2\) は連続したスペクトル上の特別な速さです。

✏️ 求めるもの

地表での第一宇宙速度 \(v_1\) と第二宇宙速度 \(v_2\)。地球質量 \(M\)・半径 \(R\) または地表の重力加速度 \(g\) を使って表します。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. \(v_1\)（第一宇宙速度）：地表を半径とする円軌道条件 → 万有引力 = 向心力で立式
  2. \(v_2\)（第二宇宙速度）：地表から打ち上げ、無限遠でぎりぎり停止する条件 → 力学的エネルギー保存で立式
  3. \(GM = gR^2\) で書き換え：地球質量 \(M\) を直接使わず、\(g\) と \(R\) で表す技
  4. 2つの関係：計算すると \(v_2 = \sqrt{2}\, v_1\) になる。なぜか確認しておこう
注意

位置エネルギーは \(U = -GMm/r\) で負の値。基準は無限遠（\(r \to \infty\) で \(U = 0\)）。「地表で \(U = 0\)」と勘違いしないこと。脱出条件は「無限遠での全エネルギー \(\ge 0\)」と覚えるとミスしにくい。