💡 ヒント：人工衛星と静止衛星

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

人工衛星は実は「ずっと自由落下している」のに地面に届かないだけ。地球は丸いので、十分速く水平に飛べば、落下する分と地面が遠ざかる分が同じになり、結果として円軌道を描き続けるのです。

必要な向心力は地球の万有引力が担います。「向心力 = 万有引力」というつりあいから、軌道半径 \(r = R + h\) と周期 \(T\) の関係（ケプラーの第3法則）が出てきます。

静止衛星は、その周期がちょうど地球の自転周期（24時間）と一致する軌道。赤道上空の決まった高度（およそ3.6万km）にだけ存在できます。

✏️ 求めるもの

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. 立式の出発点：「向心力 ＝ 万有引力」で運動方程式を書く。\(\dfrac{mv^2}{r} = G\dfrac{Mm}{r^2}\)
  2. 速さ \(v\) を消す：上の式から \(v\) を求めて \(T = 2\pi r/v\) に代入。\(T^2\) と \(r^3\) の関係（ケプラー第3則）になる
  3. 静止衛星なら \(T\) が決まっている：地球の自転周期 \(T = 24\) 時間 ＝ \(86400\) 秒。これを式に代入して \(r\) を求める
  4. 高度 \(h\) は \(r - R\)：軌道半径から地球半径を引く。最後の引き算を忘れない
  5. 単位の統一：SI 単位（m, s, kg）で計算。km と m の換算ミスに注意
注意

「軌道半径 \(r\)」と「高度 \(h\)」を混同しないこと。万有引力やケプラー則の式に出てくるのは地心からの距離 \(r = R + h\)。最後に高度を答えるときは \(r - R\) を計算する。また、\(GM\) を直接知らない場合は \(GM = gR^2\) を使うと地表の重力加速度から計算できる。これは記述式で必ず使う変形。