💡 ヒント：鉛直面内の円運動（4小問）

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

ジェットコースターで一回転するループを思い浮かべよう。下から速く入って、上では一瞬「逆さま」になる。下では座席が強く押し返してくる（=抗力大）、上ではほぼ無重力感（=抗力小）。これが鉛直面内の円運動。エネルギー保存と「向心方向の運動方程式」の2本柱で全体が解ける。

(1)(2) 最下点 B：エネルギー保存で速さ、向心方向で抗力。
(3) 最高点 D：抗力が0になる瞬間（ぎりぎり1周できる速さ）が決まる。
(4) 途中の点：抗力が0になる位置（球が面から離れる）を求める。

✏️ 求めるもの

(1) 最下点 B での速さ \(v_B\)。
(2) 最下点 B での垂直抗力 \(N_B\)。
(3) 最高点 D を通過するための初速 \(v_0\) の最小値。
(4) 球が面から離れる位置の角度 \(\theta_0\)（cosθ₀ の値）。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント (1)(2)

🔧 使う道具
  1. (1) エネルギー保存：初位置と最下点 B の高さの差から、\(v_B^2 = v_0^2 + 2gr\) のような形で速さを出す
  2. (2) 向心方向のニュートン：最下点では抗力 \(N\) が上向き、重力 \(mg\) が下向き。中心は上にあるので \(N - mg = \dfrac{mv_B^2}{r}\)
  3. (2) 抗力を解く：\(N_B = \dfrac{mv_B^2}{r} + mg\)（最下点で抗力が最大）

💡 考え方のヒント (3)(4)

🔧 使う道具
  1. (3) 最高点で N=0：\(mg = \dfrac{mv_{D,\min}^2}{r}\) より \(v_{D,\min}^2 = gr\)
  2. (3) エネルギー保存（B→D）：高さ差は \(2r\) なので \(\dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{1}{2}mv_D^2 + 2mgr\)。\(v_D^2 = gr\) を代入して \(v_0\) を解く
  3. (3) 結果：\(v_0 \geq \sqrt{5gr}\)（暗記したい関係）
  4. (4) 途中の点で離脱：角度 \(\theta\) の点で \(N = 0\) とおく。中心方向の力を分解して \(mg\cos\theta = \dfrac{m v^2}{r}\) とエネルギー保存を連立
注意

向心方向のニュートン方程式は「中心に向かう方向の力 = m v²/r」。最下点では抗力が中心向き（上）、最高点では抗力が中心向き（下）と、抗力の向きが変わるので符号に注意。\(\sqrt{5gr}\) の暗記だけでなく、なぜ「最高点で N=0」がぎりぎりなのかを理解しよう。