💡 ヒント：静止衛星の高さ（ケプラー第3法則）

📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

静止衛星は地球の自転と同じ24時間で1周するので、地上から見るといつも同じ場所に止まって見えます。気象衛星「ひまわり」がその代表。地球から見上げて止まっているということは、衛星の角速度が地球の自転と一致するということ。これだけ条件が決まれば、軌道半径（=高さ）が一意に決まります。

方法は2通り。
① ケプラー第3法則：周期1日 → 軌道半径を計算
② 万有引力 = 向心力：直接、軌道半径を周期から逆算
どちらでも同じ結果（およそ \(r \fallingdotseq 4.2 \times 10^7\) m → 高度 \(h \fallingdotseq 3.6 \times 10^7\) m ＝ 36000 km）。

✏️ 求めるもの

静止衛星の地表からの高さ \(h\)。地球の半径 \(R\)、質量 \(M\)、万有引力定数 \(G\)、周期 \(T = 86400\) 秒（1日）が与えられている。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具
  1. 条件を確認：静止衛星 → 周期 \(T = 86400\) 秒（=24時間 = 1日）
  2. 力のつり合いを立てる：万有引力 \(\dfrac{GMm}{r^2}\) = 向心力 \(\dfrac{4\pi^2 m r}{T^2}\)
  3. \(r\) について解く：\(m\) を消し、両辺に \(r^2\) を掛けて \(r^3 = \dfrac{GMT^2}{4\pi^2}\)。立方根で \(r\) を取り出す
  4. 高さ \(h\)：\(r\) から地球半径 \(R\) を引く。\(h = r - R\)（\(r \fallingdotseq 4.2 \times 10^7\) m, \(R \fallingdotseq 6.4 \times 10^6\) m）
注意

求めるのは地表からの高さ \(h\) で、軌道半径 \(r\) ではない。\(h = r - R\) を必ず引く。また、立方根の計算は指数を使うと楽（\((10^{x})^{1/3} = 10^{x/3}\)）。\(GM\) は \(gR^2\) と書き換えてもよい（\(g\) を使う場合）。