💡 ヒント人工衛星の゚ネルギヌず脱出速床

📋 問題の状況を敎理しよう

盎感的理解

䞇有匕力による䜍眮゚ネルギヌは「無限遠を基準にれロ」ず決め、近いほど負マむナスの倀になりたす深い井戞の底にいるむメヌゞ。だから運動゚ネルギヌ \(K\) ず䜍眮゚ネルギヌ \(U\) の合蚈が0以䞊になれば、地球の匕力の井戞から「脱出」できたす。これが脱出速床の発想。

むメヌゞは「クレヌタヌから物を投げ出す」。少し匱いず戻っおくる束瞛軌道、ちょうどいい速さで攟り出すず無限遠たで飛んでいっお戻らない。匏は \(K + U \geq 0\) で、\(K = \dfrac{1}{2}mv^2\), \(U = -\dfrac{GMm}{r}\)。

✏ 求めるもの

(1) 軌道半埄 \(r\) を回る衛星の運動゚ネルギヌ \(K\) ず䜍眮゚ネルギヌ \(U\)。
(2) 衛星を地球の匕力圏から脱出させるために最䜎限必芁な远加゚ネルギヌ、たたは脱出速床無限遠で速さが0になる条件。

🔬 シミュレヌションで䜓感

👀 芳察のポむント

💡 考え方のヒント (1)

🔧 䜿う道具
  1. 䜍眮゚ネルギヌの笊号無限遠を0にずる芏玄で、匕力堎では \(U < 0\)。\(r\) が小さいほど \(|U|\) が倧きい
  2. 円軌道での速さ力の぀り合いから \(v^2 = GM/r\) が埗られる
  3. K ず U の関係\(K = \dfrac{1}{2}m \cdot \dfrac{GM}{r} = \dfrac{1}{2}|U|\)。぀たり \(K = -U/2\)
  4. 力孊的党゚ネルギヌ\(E = K + U = -\dfrac{GMm}{2r}\)負束瞛されおいる蚌拠

💡 考え方のヒント (2)

🔧 䜿う道具
  1. 脱出の意味「無限遠たで飛んで行っお戻らない」 ↔ 無限遠で \(K \geq 0\) か぀ \(U = 0\) → 党゚ネルギヌ \(E \geq 0\)
  2. 必芁゚ネルギヌ珟圚の \(E = -GMm/(2r)\) を 0 にするには \(GMm/(2r)\) の゚ネルギヌを远加すればよい最小倀
  3. 脱出速床の匏\(\dfrac{1}{2}m v_{esc}^2 - \dfrac{GMm}{r} = 0\) より \(v_{esc} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}\)
  4. 円軌道速床ずの関係\(v_{esc} = \sqrt{2} \cdot v_{circ}\)\(\sqrt{2}\) 倍にすればよい
泚意

䜍眮゚ネルギヌはマむナスであるこずを忘れない。\(U = +GMm/r\) ず曞くず笊号が逆転しお党おが砎綻する。たた、脱出速床は方向によらず速さの条件鉛盎でも氎平でも、無限遠で速床0になる速さは同じ。地衚から脱出するなら \(v_{esc} \fallingdotseq 11.2\) km/s芚えおおくず䟿利。