📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

半径 \(r\) の円軌道を回る衛星の運動エネルギー \(K\)、位置エネルギー \(U\)、力学的エネルギー \(E = K + U\) を求める問題。万有引力が向心力の関係（例題18・類題18）と、位置エネルギーの公式 \(U = -GMm/r\) を組み合わせます。比をとると \(K : U : E = 1 : -2 : -1\) というきれいな関係が出るのが面白い。

イメージは「衛星のエネルギー収支表」。動きエネルギーと、地球から離れているのに『マイナスの位置エネルギー』を持つ、という不思議な状況。

✏️ 求めるもの

(1) 円軌道での \(K\) と \(U\)、(2) \(K : U : E\) の比。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

運動エネルギー \(K\) は正、位置エネルギー \(U\) は負、力学的エネルギー \(E\) は負
\(|U| = 2K\)、\(|E| = K\) という関係（円軌道のとき）
\(r\) が大きくなると、\(K\)・\(|U|\)・\(|E|\) すべてが小さくなる

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

軌道速度（円運動条件から）：\(v^2 = \dfrac{GM}{r}\)（万有引力 = 向心力から）
運動エネルギー：\(K = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{GMm}{2r}\)
位置エネルギー：\(U = -\dfrac{GMm}{r}\)（無限遠基準）
力学的エネルギー：\(E = K + U = -\dfrac{GMm}{2r}\)

速度を出す：「万有引力 = 向心力」から \(v^2 = GM/r\)
\(K\) を計算：\(K = \dfrac{1}{2}mv^2\) に代入 → \(K = \dfrac{GMm}{2r}\)
\(U\) は公式：\(U = -\dfrac{GMm}{r}\)（無限遠基準で負）
\(E\) は和：\(E = K + U = -\dfrac{GMm}{2r}\)
比をとる：\(K : U : E = 1 : -2 : -1\)（\(r\) や \(GMm\) は約分される）

注意

位置エネルギーの基準点は無限遠。地表ではない。だから \(U\) は常に負になる。\(E < 0\) なのは「衛星は束縛されている（無限遠まで脱出するエネルギーがない）」という意味。脱出には \(E \ge 0\) が必要 — 第二宇宙速度の話につながる（例題19）。

💡 ヒント：人工衛星のエネルギー

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💡 考え方のヒント