📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

定圧で気体を温めると、温度上昇と同時に膨張して外部に仕事をします。同じ温度を上げるのに、定積よりも余分なエネルギーが必要 → 定圧モル比熱 \(C_p\) は定積モル比熱 \(C_V\) より大きくなります。その差はちょうど気体定数 \(R\) で、これがマイヤーの関係 \(C_p = C_V + R\) です。

イメージは「同じ温度上昇でも、ピストンを押し上げる仕事のぶんだけ余計に燃料がいる」。

✏️ 求めるもの

単原子分子理想気体の定圧モル比熱 \(C_p\) をマイヤーの関係から導く。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

同じ \(\Delta T\) を達成するには、定圧（右）の方がピストンを動かす仕事の分だけ余計に熱が必要
定積は \(Q = \Delta U\)、定圧は \(Q = \Delta U + W'\)
その差 \(W' = p\Delta V\) を理想気体の状態方程式で書き換えると \(nR\Delta T\) になる

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

定積モル比熱：\(Q_V = nC_V \Delta T\)、\(Q_V = \Delta U\)
定圧モル比熱：\(Q_p = nC_p \Delta T\)、\(Q_p = \Delta U + W'\)
定圧変化での仕事：\(W' = p\Delta V\)
状態方程式の差分：\(p\Delta V = nR\Delta T\)（定圧で \(p\) が一定なので）

\(\Delta U\) は変化の道筋によらない：定積でも定圧でも、温度上昇 \(\Delta T\) が同じなら \(\Delta U = nC_V\Delta T\) は同じ値
定圧での第一法則：\(Q_p = \Delta U + W' = nC_V\Delta T + nR\Delta T\)
マイヤーを導出：\(nC_p\Delta T = n(C_V + R)\Delta T\) より \(C_p = C_V + R\)
単原子なら \(C_V = \dfrac{3}{2}R\)：これを代入して \(C_p = \dfrac{5}{2}R\) の文字式を得る

注意

マイヤーの関係 \(C_p = C_V + R\) はすべての理想気体で成り立つ（単原子・二原子問わず）。一方、\(C_V = \dfrac{3}{2}R\) は単原子に限定。両者の違いをしっかり区別しよう。

💡 ヒント：定圧モル比熱とマイヤーの関係

📋 問題の状況を整理しよう

🔬 シミュレーションで体感

💡 考え方のヒント