📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

断熱変化では \(pV^\gamma = \text{一定}\)（ポアソンの法則）が成り立ちます。ここで \(\gamma = C_p/C_V\) は比熱比。等温変化 \(pV = \text{一定}\) と比べると、断熱の曲線は p-V 図上で急降下する形になります。これは断熱では仕事のぶんだけ温度（=内部エネルギー）が変わるため、圧力の変化がより激しくなるからです。

イメージは「等温は緩やかな下り坂、断熱は急な下り坂」。

✏️ 求めるもの

体積を \(V_1\) から \(V_2\) に変化させたとき、断熱変化での圧力 \(p_2\) を \(p_1\) との比で表す。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

赤い実線が断熱曲線、灰色の点線が等温曲線。同じ点を通っても断熱の方が急
圧縮比 \(V_1/V_2\) を大きくするほど、終点の圧力 \(p_2\) が急激に上がる
圧力の上がり方は \(\gamma = 5/3\) 乗で効くため、等温の単純な \(1\) 乗より急激

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

ポアソンの法則：\(pV^\gamma = \text{一定}\)、\(\gamma = \dfrac{C_p}{C_V}\)
単原子分子の比熱比：\(\gamma = \dfrac{(5/2)R}{(3/2)R} = \dfrac{5}{3}\)
同じく \(TV^{\gamma-1} = \text{一定}\) も成立：温度を求めたいときに便利

条件を式に書く：\(p_1 V_1^\gamma = p_2 V_2^\gamma\)
比の形に変形：\(\dfrac{p_2}{p_1} = \left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^\gamma\)
体積比を代入：「圧縮比 \(V_1/V_2 = k\)」が問題で与えられたら \(p_2 = p_1 k^\gamma\)
\(\gamma\) を確認：単原子なら \(5/3\)、二原子なら \(7/5\)。問題文を確認してから累乗計算

注意

等温変化と混同しないこと。等温なら \(pV = \text{一定}\)、断熱なら \(pV^\gamma = \text{一定}\)。\(\gamma > 1\) なので断熱は同じ体積比でも圧力変化が大きい。問題で「ゆっくり」「ピストンを断熱的に押し込む」など条件のキーワードを見落とさないように。

💡 ヒント：ポアソンの法則と断熱変化

📋 問題の状況を整理しよう

🔬 シミュレーションで体感

💡 考え方のヒント