直感的理解

音源が時間 \(t\) の間音を出しながら近づいてくるとします。最初に出した音と 最後に出した音を考えてみましょう。最後の音は最初の音より 音源に近い場所から出されます。最後の音の方が観測者に到達するのに時間が短くて済みます。

結果として、観測者が聞く時間 \(t_{\text{obs}}\) は 音源が音を出していた時間 \(t\) より短くなる。短い時間の中に同じ波の数が詰め込まれるから振動数が上がる、というのがドップラー効果の本質です。

✏️ 求めるもの

音源が時間 \(t\) だけ音を出しながら速さ \(v_s\) で近づいてきたとき、観測者が音を聞く時間 \(t_{\text{obs}}\)。

👀 観察のポイント

🔧 使う道具

波の数の保存：音源が時間 \(t\) の間に出した波の数 \(N = f_0 t\) は、観測者が聞く波の数と等しい
観測者が聞く時間：\(N = f' t_{\text{obs}}\)（\(f'\) はドップラー効果後の振動数）
関係式：\(f_0 t = f' t_{\text{obs}}\) → \(t_{\text{obs}} = (f_0 / f') \cdot t\)
音源が近づく場合：\(f' = \dfrac{V}{V - v_s} f_0\) を代入すると \(t_{\text{obs}} = \dfrac{V - v_s}{V} t\)

注意

「音源が近づくときは振動数が高くなる」と「音源が近づくときは観測時間が短くなる」は同じ現象を別の角度から見ているだけ。波の数は保存されるので、振動数が \(k\) 倍になれば時間は \(1/k\) 倍になる。両者が独立な現象だと勘違いしないこと。

💡 ヒント：ドップラー効果と観測時間