📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

平行板コンデンサーの極板間に、極板間隔 \(d\) の一部（たとえば \(d/3\)）だけ誘電体が挿入されている状況。空気（真空）の層と誘電体の層が直列に並んでいると考えます。

金属板を挿入した例題7と違い、誘電体は電場をゼロにはしません。ただし電場を \(1/\varepsilon_r\) 倍に弱める効果があるので、電位差の計算が変わります。\(1/\varepsilon_r\) 倍の電場と考えて、電位差を区間ごとに足すのがコツ。

✏️ 求めるもの

誘電体を挿入した後の電気容量 \(C'\)を \(\varepsilon_r, \varepsilon_0, S, d\) の文字式で表す。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

極板間は「真空の層（厚さ \(d - t\)）」と「誘電体の層（厚さ \(t\)）」の2つに分かれる
2つの層はそれぞれ独立したコンデンサーとして扱える
電荷は同じ経路を通るので「直列接続」と等価 → 逆数の和で合成
誘電体層の容量は \(\varepsilon_r\) 倍大きい（\(C = \varepsilon_r \varepsilon_0 S / t\)）

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

平行板コンデンサーの容量：\(C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\)（真空）、\(C = \dfrac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{d}\)（誘電体で満たされたとき）
直列の合成：\(\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}\)
分割の考え方：極板間を「真空層」と「誘電体層」の2つに切り分ける

2つの層をそれぞれコンデンサーとみなす：真空の層 \(C_1 = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d - t}\)、誘電体の層 \(C_2 = \dfrac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{t}\)
直列合成：\(\dfrac{1}{C'} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} = \dfrac{d - t}{\varepsilon_0 S} + \dfrac{t}{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}\)
通分して整理：\(\dfrac{1}{C'} = \dfrac{\varepsilon_r (d - t) + t}{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}\)
逆数を取る：\(C' = \dfrac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{\varepsilon_r (d - t) + t}\)
問題の値に代入：\(t = d/3\) などの具体的な比率を代入して式を整理

注意

「誘電体の層」の容量には\(\varepsilon_r\) を掛ける（\(\varepsilon_r \varepsilon_0 S / t\)）。真空層には \(\varepsilon_0\) のみ。分母に入れる厚さはそれぞれの層の厚さ（\(t\) と \(d - t\)）であり、\(d\) ではない。通分に慣れておくと計算がスムーズ。

💡 ヒント：誘電体を挿入したコンデンサー

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💡 考え方のヒント