📋 問題の状況を整理しよう

直感的理解

光は粒子（光子）でもあり波でもある。それなら「電子のような粒子も波としての性質をもつのではないか？」とド・ブロイは考えました。光子の運動量と波長の関係 \(p = h/\lambda\) を逆向きに使い、運動量 \(p\) の電子に波長 \(\lambda = h/p\) を割り当てる、というアイデアです。

この「物質波」の存在は、電子線を結晶に当てたら回折縞ができたという実験（デビッソン・ジャーマー）で確認されました。今では電子顕微鏡などに応用されています。

✏️ 求めるもの

運動量 \(p\) の粒子に対応するド・ブロイ波長 \(\lambda\)。電圧 \(V\) で加速された電子の場合、運動量を \(V\) で表してから波長を計算する。

🔬 シミュレーションで体感

👀 観察のポイント

電子は粒子としても進むが、波としての性質も持つ
加速電圧 \(V\) を上げると速度（運動量）が増え、波長 \(\lambda\) が短くなる（反比例の関係）
運動量と波長は \(p = h/\lambda\) で結ばれる（光子と同じ形！）
マクロな物体では \(p\) が極めて大きく、\(\lambda\) は観測できないほど小さい

💡 考え方のヒント

🔧 使う道具

ド・ブロイの関係式：\(\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{mv}\)
電圧で加速された電子のエネルギー：\(\dfrac{1}{2}mv^2 = eV\)
運動量と運動エネルギーの関係：\(p = mv = \sqrt{2mK} = \sqrt{2meV}\)
合体公式：\(\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2meV}}\)

運動量を求める：電子が \(V\) で加速されたなら、エネルギー保存 \(\dfrac{1}{2}mv^2 = eV\) から \(v\)、よって \(p = mv\) を求める
運動エネルギー経由が便利：\(K = \dfrac{p^2}{2m}\) を使って \(p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2meV}\) と一気に書ける
波長に変換：\(\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{\sqrt{2meV}}\) に代入
単位をチェック：\(h\) は J·s、\(m\) は kg、\(V\) は V (= J/C)。最後に m に揃える

注意

「波長」と「波数」「振動数」を混同しないこと。ド・ブロイ波長は運動量に反比例するので、\(V\) を 4 倍にすると運動量が 2 倍になり、波長は半分になる（ルートに注意）。マクロ物体（質量 1 kg、速度 1 m/s）の波長を計算してみて、\(10^{-34}\) m オーダーで観測不可と確認すると、なぜ古典力学で十分なのかが分かる。

💡 ヒント：ド・ブロイ波長

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💡 考え方のヒント