直感的理解

ボーアの水素原子模型は2つの大胆な仮説からできています：

量子条件：電子は特別な軌道だけを回ってよい。条件は \(mvr = n \cdot \dfrac{h}{2\pi}\)（\(n = 1, 2, 3, \ldots\)）。古典力学の言う「どこを回ってもよい」連続軌道はダメ。
振動数条件：軌道間を電子が飛び移るとき、エネルギーの差を光（光子）として吸収・放出する。\(h\nu = E_n - E_m\)。

古典力学だけだと電子は連続的にエネルギーを失って核に落ちてしまうはずですが、ボーアは「特定のエネルギー値しか取らない」と仮定することで、水素のスペクトル（特定波長の光だけが見える）を見事に説明しました。

✏️ 求めるもの

ボーア模型の2つの仮定と、それから導かれる軌道半径と量子数の関係、エネルギー準位の式を整理する。基底状態（\(n = 1\)）の半径とエネルギーの値も理解する。

👀 観察のポイント

🔧 使う道具

量子条件：\(mvr = n \cdot \dfrac{h}{2\pi}\)（\(n\) は正の整数）
振動数条件：\(h\nu = E_m - E_n\)（高い準位から低い準位への遷移で光を放出）
クーロン引力＝向心力：\(\dfrac{ke^2}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}\)
ボーア半径（\(n=1\)）：\(a_0 = \dfrac{h^2}{4\pi^2 m k e^2} \fallingdotseq 0.053\) nm
軌道半径：\(r_n = n^2 a_0\)
エネルギー準位：\(E_n = -\dfrac{13.6}{n^2}\) eV（基底状態 \(n=1\) で −13.6 eV）

2つの仮説を区別：量子条件（軌道の選び方）と振動数条件（光の放出・吸収）
クーロン力 = 向心力 と量子条件を連立して \(r\) と \(v\) を出す
エネルギー \(E_n\) を組み立てる：運動エネルギー + 位置エネルギー（クーロン）
\(n = 1\) を代入で基底状態の値（\(a_0 \fallingdotseq 0.053\) nm、\(E_1 \fallingdotseq −13.6\) eV）に到達

注意

ボーア模型は水素原子（電子1個）の場合にだけ厳密に成り立ちます。多電子原子では電子間の相互作用が無視できないので、もっと精密な量子力学（シュレーディンガー方程式）が必要。エネルギー準位の符号は常に負（束縛状態）であることもポイント。

💡 ヒント：ボーアの理論