中心から A/2 までは T/12

🎯 1. この解説でわかること

単振動で、中心から端までにかかる時間は 4 分の 1 周期です。では、その途中にある「中心から振幅の半分まで」は何秒でしょうか。距離が半分なのだから時間も半分、と答えたくなりますが、そうはなりません。単振動は場所によって速さが変わる運動で、中心を通るときがいちばん速く、端に近づくほど遅くなるからです。このページでは、単振動を等速円運動の影として置き直し、時間を距離ではなく角で読む手順を身につけます。

下の図は、半径 $A$ の円を一定の速さで回る点 $\mathrm{P}$ です。$\mathrm{P}$ の高さが、そのまま単振動の変位 $x$ になります。［単振動の物体］を押すと左にばね振り子が現れ、$\mathrm{P}$ といつも同じ高さにいることが点線で確かめられます（おもりの横に出る［速度］［力］［加速度］は、$\mathrm{P}$ のベクトルの鉛直成分です）。［スクリーンに影］で横から光を当てれば、影の動きがそのまま単振動になります。視点は［正面］で円運動、［真横］で単振動に見えます。［速さ］を下げてゆっくり回し、左上に出る角 $\theta$ と変位 $x$ を見比べてください。中心の近くでは $\theta$ が少し進むだけで $x$ が大きく動き、端の近くでは $\theta$ が進んでも $x$ はほとんど動きません。これが「距離が半分でも時間は半分にならない」正体です。

周期 $T = 1.2$〔s〕で単振動している物体があります。振幅（中心から端までの距離）を $A$ とします。

中心から端まで、つまり変位が $0$ から $A$ になるまでにかかる時間は 4 分の 1 周期です。$$ \frac{T}{4} = \frac{1.2}{4} = 0.30\ \text{s} $$

では、中心から振幅の半分、変位が $\dfrac{A}{2}$ になるところまでは何秒でしょうか。距離が半分なのだから時間も半分で $0.15$〔s〕、と答えたくなります。

ところが、正しくは $0.10$〔s〕です。

これは周期の 12 分の 1 にあたります。$$ \frac{T}{12} = \frac{1.2}{12} = 0.10\ \text{s} $$

距離が半分でも、時間は半分になりません。単振動は場所によって速さが変わる運動で、中心を通るときが最も速く、端では速さが $0$ になるからです。

使う考え方：単振動・円運動・力学・位相

📐 2. 解説

ここからが本題です。道すじは 2 段階あります。まず単振動を等速円運動の影として置き直し、変位を角の式 $x = A\sin\omega t$ にします。次にその式へ $x = \dfrac{A}{2}$ を代入して、先に角を求めてから時間に直します。「距離では読まず、角で読む」という 1 つの見方を、この 2 段階で形にします。

① 円に置き換える

なぜ半分にならないのかを見ていきます。カギは、単振動を別の運動の影として見直すことです。

単振動は、等速円運動を真横から見た影です。半径 $A$ の円を一定の速さで回る点 $\mathrm{P}$ を考えると、$\mathrm{P}$ の高さがそのまま単振動の変位 $x$ になります。

等速円運動では回る速さが一定なので、回った角 $\theta$ は時間に比例します。1 秒あたりに回る角を $\omega$〔rad/s〕とすると、

$$ \theta = \omega t $$

1 周は $2\pi$〔rad〕で、それを 1 周期 $T$ かけて回ります。だから $\omega$ は周期で書けます。

$$ \omega = \frac{2\pi}{T} $$

半径 $A$、角 $\theta$ の点の高さは $A\sin\theta$ です。ここに $\theta = \omega t$ を入れると、変位 $x$ が時間だけの式になります。ただしこれは $t = 0$ を中心（$x = 0$）に取ったときの形で、端から測る問題では $\cos$ になります。まとめると、単振動の式は次のようになります。

$$ x = A\sin\omega t $$

② 角を周期に直す

この式に、知りたい場面 $x = \dfrac{A}{2}$ を代入します。

$$ \frac{A}{2} = A\sin\omega t $$

両辺を $A$ で割ります。

$$ \sin\omega t = \frac{1}{2} $$

ここで $A$ が消えました。かかる時間は振幅の大きさによらない、ということです。

$\sin$ が $\dfrac{1}{2}$ になる角のうち、中心を出てから最初に来るのは $\dfrac{\pi}{6}$ です。

$$ \omega t = \frac{\pi}{6} $$

$\dfrac{\pi}{6}$ は度でいえば $30^\circ$。1 周 $360^\circ$ のうち 12 分の 1 しか回っていません。この「1 周の 12 分の 1」が、そのまま「周期の 12 分の 1」になります。

$\omega$ に $\dfrac{2\pi}{T}$ を代入します。

$$ \frac{2\pi}{T}\,t = \frac{\pi}{6} $$

両辺の $\pi$ が約分できて、求める時刻が周期だけで書けました。

$$ t = \dfrac{T}{12} $$

🔑 3. まとめ

中心から端までは 4 分の 1 周期で、$t = \dfrac{T}{4}$ です。

中心から振幅の半分までは 12 分の 1 周期で、$t = \dfrac{T}{12}$。

$T = 1.2$〔s〕なら、中心から $\dfrac{A}{2}$ までが $0.10$〔s〕、そこから端までが $0.20$〔s〕です。同じ距離なのに時間は 2 倍かかります。中心では速さが最大、端では速さが $0$ なので、端に近いほど時間がかかるのです。

単振動の時刻は、距離ではなく角で読む。変位を $x = A\sin\omega t$ に入れて角 $\omega t$ を先に求め、そこから $t$ に直す。この手順なら、どの位置についても同じやり方で答えが出せます。