いちばん縮む瞬間も止まらない

🎯 1. この解説でわかること

ばねを付けた台車が別の台車にぶつかるとき、「ばねがいちばん縮んだ瞬間」を聞かれて手が止まったことはないでしょうか。いちばん縮むのだから、そこでは 2 台とも止まっているはずだ——と考えたくなります。ですがその考えでは、はじめに持っていた運動量が消えてしまいます。このページでは、最大の縮みがどんな瞬間なのかをはっきりさせてから、運動量保存とエネルギー保存の 2 本だけで縮みを出すまでを順に追います。

下の図は、なめらかな床の上を走る台車 $\mathrm{A}$（$3.0\ \text{kg}$）が、前に付けたばね（ばね定数 $300\ \text{N/m}$）で、静止した台車 $\mathrm{B}$（$1.0\ \text{kg}$）を押すようすです。床の摩擦とばねの質量は考えません。上の行に出ているのは、与えられている質量とばね定数です。「最大の縮みで止める」を押すと、いちばん縮んだ瞬間で止まり、縮み $x$ のものさしが出ます。止めたまま「重心を見る」を押すと重心の印と紫の矢印が出て、もう一度押して消すと、こんどは $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の速度の赤い矢印が 2 本そろって出ます。2 本の長さが同じで、どちらも 0 ではないこと——これが「2 台とも止まっていない」の中身です。「エネルギー」を押すと、下に運動量とエネルギーの棒が出ます。ぶつかっているあいだも運動量の棒は少しも減らず、エネルギーの棒だけが運動のぶんとばねのぶんに分かれます。もう一度「重心を見る」を押してから「⟲ 最初から」「▶ 再生」で通すと、画面が重心を追いかけるので、重心の印はその場から動かず、2 台がその左右で動きます。紫の矢印の長さはぶつかる前も最中も後もまったく変わりません——これが「重心は等速で進む」ということです。

なめらかな床の上を、前にばねを付けた質量 $3.0\ \text{kg}$ の台車 $\mathrm{A}$ が、$4.0\ \text{m/s}$ で走ってきます。その先には、静止した質量 $1.0\ \text{kg}$ の台車 $\mathrm{B}$ が置いてあります。ばね定数は $300\ \text{N/m}$ です。

ばねが縮み始め、やがていちばん縮んだ瞬間が来ます。このとき 2 台とも止まっているでしょうか。

答えは「いいえ」です。2 台は止まっておらず、両方とも $3.0\ \text{m/s}$ で一緒に動いています。

理由は運動量です。はじめの運動量は $3.0 \times 4.0 = 12\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$。床がなめらかで水平方向に外から力を受けないので、この $12$ は衝突のあいだも変わりません。2 台とも止まったら運動量が $0$ になり、$12$ が消えてしまいます。

動いたままということは、運動エネルギーもまだ残っているということです。はじめの運動エネルギーは $\dfrac12 \times 3.0 \times 4.0^{2} = 24\ \text{J}$。これが全部ばねへ行くことはなく、ばねに預けられるのはそのうちの $6.0\ \text{J}$ だけです。

ばねにたくわえられるエネルギーは $\dfrac12 k x^{2}$ なので、縮み $x$ は次の式から決まります。$$ \frac12 \times 300 \times x^{2} = 6.0 $$これを解くと $x = 0.20\ \text{m}$。「2 台とも止まる」と考えて $24\ \text{J}$ を全部入れたときの $0.40\ \text{m}$ の、ちょうど半分です。

使う考え方：運動量保存・エネルギー保存・ばね・力学・2体問題

📐 2. 解説

ここからが本題です。縮みを出す道すじは 2 段階あります。まずいつ最大になるかを決めます。近づいているあいだだけ縮むので、最大の瞬間は「近づく速さが $0$」、つまり 2 台の速度が等しい瞬間です。そこまで分かれば、その共通の速度は運動量保存で出せます。次にエネルギーを数えます。はじめの運動エネルギーのうち、共通の速度で動くぶんは運動エネルギーのまま残るので、残りがばねへ移ったぶんです。運動量保存だけでも、エネルギー保存だけでも足りず、2 本そろってはじめて縮みが出るところが山です。

① いつ最大になるか

まずは、なぜ 2 台が同じ速度になるのかを見ます。ここを納得しておかないと、あとの計算が公式の当てはめだけになってしまいます。

ばねの縮みが増えるのは、$\mathrm{A}$ が $\mathrm{B}$ に近づいているあいだだけです。逆に $\mathrm{B}$ が $\mathrm{A}$ から離れ始めれば、ばねは伸びて縮みは減っていきます。

増えるから減るへ切り替わる瞬間が、縮みの最大です。その瞬間は近づく速さ、つまり 2 台の相対速度が $0$ になっています。相対速度が $0$ とは、2 台の速度が等しいということです。

速度が等しいと分かれば、その値は運動量保存で出せます。共通の速度を $V$ とおくと、左辺ははじめの運動量 $3.0 \times 4.0$、右辺は 2 台をまとめた質量 $3.0 + 1.0 = 4.0\ \text{kg}$ が $V$ で動く運動量です。

$$ 3.0 \times 4.0 = 4.0\,V $$

よって $V = 3.0\ \text{m/s}$ と決まります。

$$ V = 3.0\ \text{m/s} $$

② 縮みを出す

速度が決まったので、次はエネルギーです。床はなめらかで、ばねは縮んだぶんをそのまま押し返すので、運動エネルギーとばねのエネルギーの合計は変わりません。

はじめに動いているのは $\mathrm{A}$ だけです。

$$ \frac12 \times 3.0 \times 4.0^{2} = 24\ \text{J} $$

この $24\ \text{J}$ が、これから使えるエネルギーの全部です。

いちばん縮んだ瞬間は、$4.0\ \text{kg}$ がまとめて $3.0\ \text{m/s}$ で動いている状態でした。

$$ \frac12 \times 4.0 \times 3.0^{2} = 18\ \text{J} $$

つまり $18\ \text{J}$ は運動エネルギーのまま残ります。

ばねへ移れたのは、その差だけです。

$$ 24 - 18 = 6.0\ \text{J} $$

縮みを $x$ とすると、ばねのエネルギーは $\dfrac12 \times 300 \times x^{2} = 150\,x^{2}$ なので、

$$ 150\,x^{2} = 6.0 $$

両辺を $150$ で割ると $x^{2} = 0.040$、よって $x = 0.20\ \text{m}$ です。2 台が止まると考えたときの $0.40\ \text{m}$ の半分で、ずれの原因は「残った $18\ \text{J}$」を数え落としたことにあります。

$$ x = 0.20\ \text{m} $$

🔑 3. まとめ

この問題の急所は 1 つで、ばねが最も縮むのは相対速度が $0$ になる瞬間だ、ということです。2 台がそろって止まる瞬間ではありません。

そのとき 2 台は止まっておらず、重心の速度で一緒に動いています。水平方向に外から力を受けていないので、重心は衝突の前も最中も後も $3.0\ \text{m/s}$ のまま進み続けます。

重心が動いているぶんの運動エネルギーは、どうやってもばねへ渡せません。

$$ \frac12 \times 4.0 \times 3.0^{2} = 18\ \text{J} $$

さきほど「運動エネルギーのまま残る」と数えた $18\ \text{J}$ の正体が、この重心の運動です。

だからばねに入るのは、はじめのエネルギーの一部だけになります。この問題では $24\ \text{J}$ のうち $6.0\ \text{J}$、割合にすると $\dfrac14$ です。静止した相手にぶつかるとき、この割合は $\dfrac{m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}} + m_{\mathrm{B}}}$ になり、相手が軽いほど、ばねへ渡せるぶんは小さくなります。