📐 2. 解説
ここからが本題です。道すじは 2 段階あります。まずつりあいの位置を見つけ、そこを変位の原点に取り直します。すると重力と弾性力のうち「つりあっているぶん」どうしが打ち消し合い、残る合力が \(-kx\) だけになります。次に、その形が横のばね振り子とまったく同じであることから角振動数と周期を読み取り、最後に数を入れて 1 つの値まで出します。
① つりあいの位置
なぜ重力が周期に効かないのか、その理由を見ていきます。
縦につるすと、おもりは重力と弾性力がつりあう位置で静止します。このときのばねの伸びを \(x_0\) とすると、つりあいの式は \(k x_0 = mg\)。これを \(x_0\) について解きます。
$$ x_0 = \dfrac{mg}{k} $$
自然長より \(\dfrac{mg}{k}\) だけ下がった所が、つるしたときの静止位置です。
このつりあいの位置が、振動の中心になります。図の橙色の破線がそれで、おもりはこの線をはさんで上下に同じだけ動きます。
つりあいの位置から測った変位を \(x\) とします（下向きを正）。ばねの伸びは \(x_0 + x\) なので、弾性力は上向きに \(k(x_0 + x)\)、重力は下向きに \(mg\)。合力を \(F\) とすると、こうなります。
$$ F = mg - k(x_0 + x) = mg - k x_0 - kx $$
ここで \(k x_0 = mg\) でしたから、はじめの 2 項が打ち消し合います。
$$ F = mg - k x_0 - kx = -kx $$
残るのは、つりあいからのずれ \(x\) だけで決まる \(-kx\) です。
重力が消えたわけではありません。つりあっているぶんが差し引かれただけです。だから合力にも、そこから出てくる周期にも \(g\) が残りません。
$$ F = -kx $$
② 周期を出す
合力が \(F = -kx\) の形になりました。横に置いたばね振り子では、自然長の位置が中心で、そこからのずれ \(x\) に対して弾性力が \(-kx\)。つまりまったく同じ形で、式の形が同じなら、そこから出てくる答えも同じになります。
運動方程式は \(ma = -kx\)。単振動の \(a = -\omega^{2} x\) と見比べると \(\omega^{2} = \dfrac{k}{m}\) です。
$$ \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} $$
周期は \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) だったので、こうなります。
$$ T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} $$
決めているのは \(m\) と \(k\) だけで、つるし方は関係ありません。
数を入れてみます。\(k = 20\ \text{N/m}\)、\(m = 0.20\ \text{kg}\) としましょう。
$$ \dfrac{m}{k} = \dfrac{0.20}{20} = 0.01 $$
根号の中が \(0.01\) なので、\(\sqrt{0.01} = 0.1\) です。
$$ T = 2\pi \times 0.1 \fallingdotseq 0.63\ \text{s} $$
横に置いても縦につるしても、周期はこの \(0.63\) 秒です。
$$ T = 0.63\ \text{s} $$
