🎯 1. この解説でわかること
止まっている球に、同じ質量の球を正面からぶつけます。ぶつけた球と、ぶつけられた球は、そのあとどう動くでしょうか。「2 つがくっついて、いっしょに進む」と答えたくなりますが、それは別の状況の答えです。このページでは、よくはねかえる正面衝突（反発係数 \(e = 1\) の弾性衝突）を、運動量保存と反発係数の式のたった 2 本から解いて、衝突後の 2 球の速度がどうなるかを導きます。
下の図では、なめらかな台の上を球 \(\mathrm{A}\)（\(1.0\ \text{kg}\)）が右へ動き、止まっている球 \(\mathrm{B}\) に一直線に当たります。球の上の赤い矢印が速度で、長さが速さに比例します。「棒を見る」を押すと、画面の下に運動量と運動エネルギーの棒が出ます（赤い部分が熱に変わったぶん）。「弾性衝突 \(e=1\)」と「くっつく \(e=0\)」を押し比べて、運動量の棒は変わらないのに運動エネルギーの棒だけが減ることを確かめてください。2 本のスライダーで \(\mathrm{B}\) の質量と反発係数 \(e\) を変えると、速度の入れ替わりが崩れます。
\(1.0\ \text{kg}\) の球 \(\mathrm{A}\) を \(v_0 = 8.0\ \text{m/s}\) で転がし、止まっている同じ \(1.0\ \text{kg}\) の球 \(\mathrm{B}\) に正面から当てます。台はなめらかで、反発係数は \(e = 1\)（弾性衝突）とします。
よくある答えが「2 つがくっついて、どちらも \(4.0\ \text{m/s}\) で進む」というものです。衝突前の運動量 \(8.0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}\) を 2 球で分け合った、という考え方です。
ですが、これは違います。運動量こそ合っていますが、反発係数の条件をまだ一度も使っていません。くっついて進むのは \(e = 0\)（完全非弾性衝突）のときの答えです。
正しくは、当てた球 \(\mathrm{A}\) はその場で止まり、当てられた球 \(\mathrm{B}\) が \(8.0\ \text{m/s}\) で動き出します。
速度がそっくり入れ替わった形です。衝突後の速度を \(\mathrm{A}\) が \(v_1{}'\)、\(\mathrm{B}\) が \(v_2{}'\) として書くと、$$ v_1{}' = 0, \qquad v_2{}' = v_0 $$この結果を、これから 2 本の式から導きます。
使う考え方：運動量保存・弾性衝突・反発係数・力学・2体問題
📐 2. 解説
ここからが本題です。一直線上の正面衝突は、2 本の式を連立するだけで解けます。まず運動量保存を書き、2 球の質量が等しいことを使って \(m\) を約分します（①式）。次に反発係数の式を書き、\(e = 1\) を入れます（②式）。最後にその 2 本を足し合わせると、片方の未知数が打ち消し合って消え、答えが出ます。
① 運動量保存
まず運動量保存を書きます。台がなめらかで、水平方向に外から力がはたらかないので、衝突の前後で運動量の和は変わりません。
2 球の質量はどちらも \(m\) です。衝突前に動いているのは \(\mathrm{A}\) だけなので、左辺は \(mv_0\) の 1 項だけ。衝突後は 2 球の速度がどちらもまだ分からないので、右辺は 2 項のまま書いておきます。
$$ mv_0 = mv_1{}' + mv_2{}' $$
ここで質量が等しいことが効きます。どの項にも同じ \(m\) が掛かっているので、両辺を \(m\) で割れます。
割ると質量が式から消えて、速度だけの関係が残ります。
$$ v_0 = v_1{}' + v_2{}' \qquad \cdots\cdots ① $$
これを①式とします。未知数は \(v_1{}'\) と \(v_2{}'\) の 2 つあるので、この 1 本だけではまだ決まりません。
\(v_0 = v_1{}' + v_2{}'\) …①
② 反発係数で結ぶ
未知数が 2 つある以上、式はもう 1 本要ります。使うのは反発係数の式です。
反発係数 \(e\) は、衝突後に遠ざかる速さを衝突前に近づく速さで割ったものです。いまは \(e = 1\) なので、遠ざかる速さは近づく速さにそのまま等しくなります。
近づく速さは \(v_0\)、遠ざかる速さは \(v_2{}' - v_1{}'\) なので、①と左右をそろえた向きで書いておきます。
$$ v_0 = v_2{}' - v_1{}' \qquad \cdots\cdots ② $$
これを②式とします。
①と②は左辺がどちらも \(v_0\) なので、そのまま辺々を足せます。すると \(v_1{}'\) が符号違いで打ち消し合って消え、
$$ 2v_0 = 2v_2{}' \;\;\Rightarrow\;\; v_2{}' = v_0 $$
当てられた球は、当てた球がもっていた速さでそのまま動き出します。
あとは①式 \(v_0 = v_1{}' + v_2{}'\) に \(v_2{}' = v_0\) を戻すだけです。
$$ v_0 = v_1{}' + v_0 \;\;\Rightarrow\;\; v_1{}' = 0 $$
当てた球はその場で止まります。これで速度の交換が示せました。
$$ v_1{}' = 0 $$
🔑 3. まとめ
速度の交換が起こるのは、2 球の質量が等しく、しかも \(e = 1\) のときだけです。どちらも欠かせない条件で、片方だけでは足りません。
条件が崩れると入れ替わりも崩れます。図で \(\mathrm{B}\) の質量を大きくすると当てた球ははね返って逆向きに進み、小さくすると前へ進み続けます。反発係数を下げていけば、2 球はしだいにくっついて進むようになります。
最後に運動エネルギーで検算します。衝突前は
$$ K = \frac12 \times 1.0 \times 8.0^{2} = 32\ \text{J} $$
衝突後は \(\mathrm{A}\) が \(0\ \text{J}\)、\(\mathrm{B}\) が \(32\ \text{J}\) で、和は変わりません。エネルギーは減らず、そっくり \(\mathrm{B}\) へ移っただけです。ちなみに誤答の「\(4.0\ \text{m/s}\) ずつ」だと \(16\ \text{J}\) になり、半分が消えてしまうので弾性衝突ではありえない、とすぐ切れます。
\(K\) は \(32\ \text{J}\) のまま
