重心はどこにある？

❓ 1. 疑問と結論

質量 $M$〔kg〕の小球 $\mathrm{A}$ と質量 $m$〔kg〕の小球 $\mathrm{B}$（$\mathrm{A}$ のほうが重い）を，軽いばねでつなぐ。ばねが伸び縮みするとき，2 つをまとめた重心は，ばねのどこにある？

🎯 結論：重心は質量の逆比に内分する

重心 $\mathrm{G}$ は，2 つの物体のあいだを質量の逆比に内分する。

$$ \mathrm{AG} : \mathrm{GB} = m : M $$

$\mathrm{AG}$：$\mathrm{A}$ から $\mathrm{G}$ までの長さ，$\mathrm{GB}$：$\mathrm{G}$ から $\mathrm{B}$ までの長さ

💡

重心……2 つの物体の位置を，質量で重みをつけて平均した点

🔁 長さには相手の質量

$\mathrm{A}$ の側の $\mathrm{AG}$ には $\mathrm{B}$ の質量 $m$，$\mathrm{B}$ の側の $\mathrm{GB}$ には $\mathrm{A}$ の質量 $M$ がつく。
⚖️ 重いほうに近い

$M > m$ なので $\mathrm{AG} < \mathrm{GB}$。重心は重い $\mathrm{A}$ の近くにある。
🔢 図の数では

$M = 2.0\ \text{kg}$，$m = 1.0\ \text{kg}$ なので，$\mathrm{AG} : \mathrm{GB} = 1 : 2$。

上の図の $L$〔m〕は，$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の中心の距離。帯の $\mathrm{GB}/L$ は，比が $1 : 2$ のままなので，伸び縮みしても $\frac{2}{3} \fallingdotseq 0.667$ のまま。

なぜ逆比になるのか。シーソー → 数学の内分点の公式 → ばねの伸び縮み，の順に見る。

❓ 重心はばねの上にあり，物体の上には無い。それでも重心？

重心は，2 つをまとめて1 個の物体とみなしたときの代表点。物体の上に無くてよい（輪の形の物体なら，重心は穴のまん中）。

📚 2. 解説と確かめ

逆比になるわけをシーソーで見て（解説①），重心の座標の式にし（解説②），ばねの同じ箇所を見る（解説③）。最後に，いちばん多い思い違いで確かめる。

⚖️ 解説①：シーソーと同じ

重心は，そこで支えると全体がつりあう点。だから，シーソーと同じに考えられる。

重心で支える

重さの無い棒の左端に $\mathrm{A}$ を，右端に $\mathrm{B}$ をのせ，重心 $\mathrm{G}$ で支えると，棒は水平につりあう。
重いほうが支点の近く

シーソーでは，重い人が支点の近くに座るとつりあう。重心は重いほうに寄る。
2 倍重ければ，距離は半分

図は $M = 2m$ なので，$\mathrm{AG} : \mathrm{GB} = 1 : 2$。長さの比は，質量の逆比になる。

📐 解説②：内分点の公式で座標の式に

「$m : M$ に内分する」を，数学の内分点の公式に当てはめる。

📍 重心の座標の式

💡

内分……線分 $\mathrm{AB}$ 上の点で，$\mathrm{A}$ の側から長さを $p : q$ に分けること

$x$ 軸をとる

$\mathrm{B}$ の向き（右向き）を正にする。$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ と重心の座標を，$x_{\mathrm{A}}$，$x_{\mathrm{B}}$，$x_{\mathrm{G}}$〔m〕とする。
数学の内分点の公式

$p : q$ に内分する点の座標 $x$ は

$$ x = \dfrac{q\,x_{\mathrm{A}} + p\,x_{\mathrm{B}}}{p + q} $$
$p = m$，$q = M$ を入れる

重心は $m : M$ に内分する点なので，公式がそのまま使える。入れると，下の重心の座標の式になる。

$$ x_{\mathrm{G}} = \dfrac{Mx_{\mathrm{A}} + mx_{\mathrm{B}}}{M + m} $$

$x_{\mathrm{A}}$，$x_{\mathrm{B}}$〔m〕：$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ の座標（右向きを正）

$M$，$m$〔kg〕：$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ の質量

分子は，座標にそれぞれの質量をかけた和。座標を質量で重みをつけて平均した形になっている。

🎯 $\mathrm{A}$ を原点にとる

座標が簡単になる

$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の中心の距離を $L$〔m〕とすると，$x_{\mathrm{A}} = 0$，$x_{\mathrm{B}} = L$。
式に入れる

$$ x_{\mathrm{G}} = \dfrac{M \times 0 + mL}{M + m} $$ $$ {}= \dfrac{m}{M + m}\,L $$
これが $\mathrm{AG}$

$\mathrm{A}$ は原点なので，重心の座標がそのまま $\mathrm{A}$ から $\mathrm{G}$ までの長さになる。

🔥 ここが超重要

残りの $\mathrm{GB}$ は $L - \mathrm{AG}$。長さの分子は相手の質量になる。

$$ \mathrm{AG} = \dfrac{m}{M + m}\,L, $$ $$ \mathrm{GB} = L - \mathrm{AG} = \dfrac{M}{M + m}\,L $$

🎀 解説③：ばねの同じ箇所がいつも重心

$\mathrm{AG}$ も $\mathrm{GB}$ も $L$ に比例する。ばねが伸び縮みして $L$ が変わっても，比は変わらない。

伸びても縮んでも $m : M$

$L$ が大きくなると，$\mathrm{AG}$ と $\mathrm{GB}$ は同じ割合で長くなる。比は $m : M$ のまま。
重心の所にひもを結ぶ

自然長のとき，重心の場所で，ばねにひもを結んでおく。
ひもはいつも重心の場所

ばねは全体が同じ割合で伸び縮みする。ばねの同じ箇所が，いつも重心。

🔍 なぜ，ばねは全体が同じ割合で伸び縮みするのか

どこでも同じ力

軽いばねは，どの部分も同じ大きさの力で引き合う。だから，どの部分も同じ割合で伸び縮みする。
巻き目の場所も同じ割合

$\mathrm{A}$ から全体の $\dfrac{m}{M + m}$ の所にある巻き目は，伸びても縮んでも，全体の $\dfrac{m}{M + m}$ の所にある。
その巻き目が重心

重心も $\mathrm{A}$ から $\dfrac{m}{M + m}\,L$ の所。だから，図の藍の巻き目は，いつも $\mathrm{G}$ と重なる。

🧮 確かめ：比を逆にしていない？

$\mathrm{GB}$ の分子は $m$ と $M$ のどちら？自分の答えを決めてから読む。

答えは $M$

$$ \mathrm{GB} = \dfrac{M}{M + m}\,L $$

分子が $m$ のほうは $\mathrm{AG}$（$\mathrm{A}$ から $\mathrm{G}$ まで）。
「重いほうに近い」で確かめる

$M > m$ なら，$\mathrm{G}$ は $\mathrm{A}$ に近く，$\mathrm{GB}$ が長い。長いほうの分子に，大きい $M$ がつく。

$\mathrm{B}$ のほうが重いとき

$m > M$ なら，$\mathrm{G}$ は $\mathrm{B}$ に近くなる。式は同じ $\mathrm{AG} : \mathrm{GB} = m : M$ のまま。
同じ質量のとき

$M = m$ なら，$\mathrm{AG} : \mathrm{GB} = 1 : 1$。重心がまん中になるのは，この場合だけ。

⚠️ 要注意！

長さの分子に自分の質量を書くと，比が逆になる。迷ったら「重心は重いほうに近い」で確かめる。

🔑 まとめ

結論：重心は 2 物体のあいだを質量の逆比に内分する。$\mathrm{AG} : \mathrm{GB} = m : M$。
なぜ：重心で支えるとつりあう。シーソーと同じで，重いほうが支点の近く。
重心の座標：内分点の公式に $p = m$，$q = M$ を入れる。$x_{\mathrm{G}} = \dfrac{Mx_{\mathrm{A}} + mx_{\mathrm{B}}}{M + m}$。
長さ：分子は相手の質量。$\mathrm{AG} = \dfrac{m}{M + m}\,L$，$\mathrm{GB} = \dfrac{M}{M + m}\,L$。
ばね：伸び縮みしても比は同じ。ばねの同じ箇所が，いつも重心。

🔍 3. もっと詳しく

ショートでは流した所。知りたい所だけ読む。

⚖️ 力のモーメントで比を出す

解説①のシーソーを，力のモーメントのつりあいの式にする。

棒にはたらく力

$\mathrm{A}$ の重力 $Mg$ と $\mathrm{B}$ の重力 $mg$ のほかに，支点が押す力がはたらく。$g$〔$\text{m/s}^2$〕は重力加速度の大きさ。
支点 $\mathrm{G}$ のまわりで考える

支点が押す力は $\mathrm{G}$ を通るので，モーメントは 0。腕の長さは $\mathrm{AG}$ と $\mathrm{GB}$。
反時計回り＝時計回り

$$ Mg \times \mathrm{AG} = mg \times \mathrm{GB} $$

両辺を $g$ でわって比にすると，$\mathrm{AG} : \mathrm{GB} = m : M$。

📏 原点が物体の外でも，比は同じ

解説②では $\mathrm{A}$ を原点にした。原点が $\mathrm{A}$ の外にあっても，同じ長さが出る。

$\mathrm{AG}$ を座標の差で

$$ \mathrm{AG} = x_{\mathrm{G}} - x_{\mathrm{A}} $$ $$ {}= \dfrac{Mx_{\mathrm{A}} + mx_{\mathrm{B}}}{M + m} - x_{\mathrm{A}} $$ $$ {}= \dfrac{m\,(x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}})}{M + m} $$
$\mathrm{GB}$ も同じように

$$ \mathrm{GB} = x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{G}} $$ $$ {}= \dfrac{M\,(x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}})}{M + m} $$
座標の差は $L$

$x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}} = L$ なので，解説②と同じ長さになる。

原点をどこにとっても，比は $m : M$。

💡 もう一歩：物体が 3 つ以上でも同じ形

物体 1，2，3，… の質量を $m_1,\ m_2,\ m_3,\ \cdots$〔kg〕，座標を $x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$〔m〕とする。重心の座標は，やはり質量で重みをつけた平均。

$$ x_{\mathrm{G}} = \dfrac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 + \cdots}{m_1 + m_2 + m_3 + \cdots} $$

「質量の逆比に内分する点」は，物体が 2 つのときの短い言い方。3 つなら，2 つの重心を先に求め，そこに 2 つの質量の和を置いて，3 つ目と逆比に分けてもよい。

🔗 次に読む

もとの入試問題では，ばねの重心の箇所を動かない壁とみなして，$\mathrm{B}$ の単振動の周期を出す。