この式，本当に正しい？

❓ 1. 疑問と結論

なめらかな床の上の三角台。なめらかな斜面を小物体がすべりおりると，台は右へ動く。台の加速度は，計算すると次の式になる。この式は本当に正しい？

$$ A = \dfrac{mg\sin\theta\cos\theta}{M + m\sin^2\theta} $$

$A$〔m/s²〕：台の加速度（地面に対して右向き）

$M$，$m$〔kg〕：台，小物体の質量

$\theta$：斜面の傾きの角

$g$〔m/s²〕：重力加速度の大きさ

答えの式が出たら，極端な場合を入れて，当たり前の結果になるかを確かめる。

🔥 ここが超重要

当たり前の結果にならなければ，式のどこかがまちがっている。

3 つの極端な場合を，式とシムで 1 つずつ確かめる。

💬 補足

両はしで 0 なので，あいだに $A$ がいちばん大きい角がある（$M = 1.5m$ なら約 $38^\circ$）。

💬 補足

台の質量のスライダーを動かすと，重いほど曲線全体が下がるのが見える。

ショートで扱わなかった先の話。式の出し方と，確かめで見つかるまちがい・見つからないまちがい。

台から見た小物体

慣性力 $mA$ を足して，斜面に垂直な向きのつりあい。

$$ N = m(g\cos\theta - A\sin\theta) $$
台の運動方程式

台を右へ押すのは，$N$ の反作用の水平成分。

$$ MA = N\sin\theta $$
$N$ を消す

$N$ の式を，台の運動方程式に代入して，$A$ について解く。

$ (M + m\sin^2\theta)A $ $ {}= mg\sin\theta\cos\theta $

sin と cos の取りちがえ

分子を $mg\cos^2\theta$ と書くと，$\theta = 0^\circ$ で $A = \dfrac{mg}{M}$。平らな床で台が動く → おかしい。
移項の符号のまちがい

分母を $M - m\sin^2\theta$ と書くと，台が軽いと（$M \lt m\sin^2\theta$）$A$ が負。押されて左へ動く → おかしい。

⚠️ 要注意！

全部の確かめを通っても，正しいとは限らない。分母を $M$ にした式も，3 つの確かめは通る。確かめはまちがいを見つける道具。

結論：答えの式が出たら，極端な場合を入れて，当たり前の結果になるかを確かめる。
寝かせる・立てる：$\theta = 0^\circ$ でも $90^\circ$ でも $A = 0$。台を横に押さない・壁を押さないので当たり前。
重くする：$M$ が大きいと分母が大きく，$A \to 0$。重い台はほとんど動かない。
使い方：当たり前でなければ，どこかがまちがい。sin と cos の取りちがえ（$\theta = 0^\circ$）や，移項の符号のまちがい（台が軽いとき）に気づける。