いちばん縮む瞬間，2 つは？

❓ 1. 疑問と結論

なめらかな床の上で，質量 $M$ の小球 $\mathrm{A}$ と質量 $m$ の小球 $\mathrm{B}$ を軽いばねでつなぐ。$\mathrm{A}$ だけに右向きの速さ $v_0$ を与えると，ばねが縮んでいく。いちばん縮んだ瞬間，2 つはどう動いている？

🎯 結論：2 つは同じ速度（止まらない）

ばねがいちばん縮むのは，$\mathrm{B}$ から見て $\mathrm{A}$ が止まって見える瞬間。地面から見ると 2 つは同じ速度で，止まらずにそろって動く。

💡

相対速度……$\mathrm{B}$ から見た $\mathrm{A}$ の速度 $v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}}$。$v_{\mathrm{A}}$，$v_{\mathrm{B}}$ は地面から見た速度（右向きを正）

🔵 $\mathrm{B}$ から見ると

$\mathrm{A}$ は止まって見える。相対速度が $v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}} = 0$。
🟠 地面から見ると

$v_{\mathrm{A}}$ と $v_{\mathrm{B}}$ の矢印は，同じ長さ・同じ向き。

図は $M = 2.0\ \text{kg}$，$m = 1.0\ \text{kg}$，$v_0 = 1.5\ \text{m/s}$。いちばん縮んだ瞬間，2 つとも 1.0 m/s。

なぜか。$\mathrm{B}$ から見た $\mathrm{A}$ の動きで縮む瞬間を決め，運動量で速度を求める。

❓ 速度が等しいなら，2 つはくっついている？

くっついてはいない。ばねは縮んでいて，2 つを押し続けている。速度がそろうのは一瞬だけで，次の瞬間には $\mathrm{B}$ のほうが速くなる。

📚 2. 解説と確かめ

$\mathrm{B}$ に乗って $\mathrm{A}$ を見て（解説①），地面にもどり（解説②），運動量で速度を求める（解説③）。最後に，いちばん多い思い違いで確かめる。

👀 解説①：$\mathrm{B}$ から見ると

ばねの長さは，2 つの小球の距離で決まる。距離の変わり方は，$\mathrm{B}$ に乗って $\mathrm{A}$ を見ると分かる。

🧍 $\mathrm{B}$ に乗って $\mathrm{A}$ を見る

ばねの長さ＝ 2 つの距離

ばねは軽く，2 つをつなぐだけ。距離が縮めば，ばねも縮む。
$\mathrm{B}$ に乗って見る

$\mathrm{B}$ は止まって見え，動いて見えるのは $\mathrm{A}$ だけ。
$\mathrm{B}$ から見た速度

$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の速度の差，相対速度。

$$ v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}} $$

➡️ 近づく → 縮む

はじめは近づく

$v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}} > 0$。$\mathrm{A}$ が $\mathrm{B}$ に寄り，ばねは縮む。
ばねが押し返す

ばねが $\mathrm{A}$ を押し返し，近づく速さが小さくなる。

⏸️ 止まって見える瞬間

やがて止まって見える

近づく速さが 0 になり，$\mathrm{A}$ は止まって見える。

$$ v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}} = 0 $$
距離が変わらない一瞬

近づきも離れもしない。ここで縮みが最大になる。

⬅️ 離れる → 伸びる

そのあと離れる

$v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}} < 0$。$\mathrm{A}$ が離れ，ばねは伸びはじめる。
境目で縮みが最大

止まって見える瞬間が，縮むと伸びるの境目。

$$ v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}} = 0 $$

$v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}}$〔m/s〕：$\mathrm{B}$ から見た $\mathrm{A}$ の速度（相対速度）

📐 距離の変わる速さは，相対速度で決まる

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ の位置を $x_{\mathrm{A}}$，$x_{\mathrm{B}}$（右向きを正）とすると，2 つの距離は $x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}}$。

短い時間 $\Delta t$ に，$\mathrm{A}$ は $v_{\mathrm{A}}\Delta t$，$\mathrm{B}$ は $v_{\mathrm{B}}\Delta t$ だけ進む。

$$ \Delta(x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}}) = -(v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}})\,\Delta t $$

相対速度 $v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}}$ が正なら距離は縮み，負なら広がる。0 になる瞬間が，いちばん縮んだ瞬間。

🌍 解説②：地面から見ると

相対速度が 0 なら，地面から見た 2 つの速度は等しい。

相対速度は 0

解説①の結果から，

$$ v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}} = 0 $$
言いかえると

$$ v_{\mathrm{A}} = v_{\mathrm{B}} $$

2 つは同じ速度で，そろって右へ動く。

💡 もう一歩：$\mathrm{B}$ は加速しているのに，$\mathrm{B}$ から見てよい？

$\mathrm{B}$ はばねに押されて加速するので，$\mathrm{B}$ から見る立場は慣性系ではない。それでも，距離の変わり方は 2 つの速度の差だけで決まるので，相対速度 $v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}}$ はそのまま使える。

$\mathrm{B}$ から見て力や運動方程式を考えるときは，慣性力が要る。

⚖️ 解説③：運動量で速度を求める

いちばん縮んだ瞬間の速度 $v$ は，運動量の和が変わらないことから決まる。

💡

運動量保存則……物体どうしが力をおよぼし合うだけで，外から力がはたらかなければ，運動量の和は変わらない

外から水平な力は無い

床はなめらか。ばねの力は，同じ大きさ・逆向き。
和は，はじめのまま

はじめは $v_{\mathrm{A}} = v_0$，$v_{\mathrm{B}} = 0$ なので，

$$ Mv_{\mathrm{A}} + mv_{\mathrm{B}} = Mv_0 $$

そろった速度を入れる

$v_{\mathrm{A}} = v_{\mathrm{B}} = v$ とおくと，

$$ Mv + mv = Mv_0 $$
まとめて $M + m$ でわる

$$ (M + m)v = Mv_0 $$

$$ v = \dfrac{Mv_0}{M + m} $$
数で見る

$v = \dfrac{2.0 \times 1.5}{2.0 + 1.0} = 1.0\ \text{m/s}$

$$ v = \dfrac{Mv_0}{M + m} $$

$M$，$m$〔kg〕：$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ の質量

$v_0$〔m/s〕：はじめに $\mathrm{A}$ に与えた速さ

🔥 ここが超重要

いちばん縮んだ瞬間，2 つは $v = \dfrac{Mv_0}{M + m}$ でそろって右へ動いている。止まってはいない。

🟣 重心の速度と同じ

💡

重心 $\mathrm{G}$……2 つの物体の位置を，質量で重みをつけて平均した点

重心の速度は一定

全運動量 ÷ 全質量。外力が無いので，変わらない。

$$ v_{\mathrm{G}} = \dfrac{Mv_{\mathrm{A}} + mv_{\mathrm{B}}}{M + m} $$

$$ {}= \dfrac{Mv_0}{M + m} $$
$v$ は $v_{\mathrm{G}}$ と同じ

いちばん縮んだ瞬間，2 つは重心といっしょに動く。

💬 補足

質量が等しい（$M = m$）なら $v = \dfrac{v_0}{2}$。$\mathrm{A}$ が重いほど $v$ は $v_0$ に近く，軽いほど 0 に近い。

🧮 確かめ：いちばん縮んだ瞬間，2 つとも止まる？

いちばん多い思い違い。答える前に，自分の答えを決めてから読む。

答えは「いいえ」

2 つとも止まると，運動量の和は 0 になる。

$M \times 0 + m \times 0 = 0$
はじめの値と合わない

運動量の和は $Mv_0$ のまま。0 になると矛盾する。
図で見ると

帯の合計は，どの瞬間も $Mv_0$ の枠いっぱい。

⚠️ 要注意！

「いちばん縮む＝止まる」は，相手が壁のとき。相手が動くなら，相手から見て止まって見える瞬間。

🔑 まとめ

結論：ばねがいちばん縮むのは，$\mathrm{B}$ から見て $\mathrm{A}$ が止まって見える瞬間（相対速度 $v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}} = 0$）。
$\mathrm{B}$ から見ると：$\mathrm{A}$ は近づき（縮む），止まって見え，離れる（伸びる）。
地面から見ると：$v_{\mathrm{A}} = v_{\mathrm{B}}$。2 つは止まらず，そろって動く。
速度：運動量保存から $v = \dfrac{Mv_0}{M + m}$。重心の速度と同じ。
確かめ：2 つとも止まると，運動量の和が 0 になって矛盾する。

🔍 3. もっと詳しく

ショートでは扱わなかった先の話。縮みの大きさ，ばね付き台車の衝突，そのあとの動き。

🔋 いちばん縮んだときの縮み

縮みの大きさは，力学的エネルギー保存で決まる。床はなめらかで，仕事をするのはばねの力だけ。

はじめ＝いちばん縮んだ瞬間

$k$ はばね定数，$x_{\max}$ は最大の縮み。

$$ \dfrac{1}{2}Mv_0^2 $$

$$ {}= \dfrac{1}{2}(M + m)v^2 + \dfrac{1}{2}kx_{\max}^2 $$
ばねにたまるのは差の分

$$ \dfrac{1}{2}kx_{\max}^2 $$

$$ {}= \dfrac{1}{2}Mv_0^2 - \dfrac{1}{2}(M + m)v^2 $$
$v = \dfrac{Mv_0}{M + m}$ を入れる

$$ \dfrac{1}{2}kx_{\max}^2 = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{Mm}{M + m}\,v_0^2 $$

📐 3 の式変形

2 の右辺に $v = \dfrac{Mv_0}{M + m}$ を入れて，$\dfrac{1}{2}Mv_0^2$ でくくる。

$$ \dfrac{1}{2}Mv_0^2 - \dfrac{1}{2}(M + m)\left(\dfrac{Mv_0}{M + m}\right)^2 $$

$$ {}= \dfrac{1}{2}Mv_0^2\left(1 - \dfrac{M}{M + m}\right) $$

$$ {}= \dfrac{1}{2}Mv_0^2 \cdot \dfrac{m}{M + m} $$

$$ x_{\max} = v_0\sqrt{\dfrac{Mm}{(M + m)k}} $$

$x_{\max}$〔m〕：自然長からの縮み

$k$〔N/m〕：ばね定数

$M$，$m$〔kg〕：$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ の質量

$v_0$〔m/s〕：はじめに $\mathrm{A}$ に与えた速さ

🔋 ばねにたまるのは一部だけ

はじめの運動エネルギーの $\dfrac{m}{M + m}$ 倍。質量が等しければ半分。
🔢 数で見る

はじめの 2.25 J のうち，ばねに 0.75 J（3 分の 1）。

$k = 30\ \text{N/m}$ なので，約 0.22 m 縮む（0.60 m → 0.38 m）。

⚠️ 要注意！

$\dfrac{1}{2}kx_{\max}^2 = \dfrac{1}{2}Mv_0^2$ とするのは誤り。いちばん縮んだ瞬間も，2 つは動いていて運動エネルギーが残る。

🚃 ばね付き台車の衝突も同じ

ばねを付けた台車 $\mathrm{A}$ が，止まった台車 $\mathrm{B}$ にぶつかる。ばねが触れているあいだは，つないだ場合と同じ。

相手から見て止まる瞬間

やはり相対速度 0 の瞬間。速度は $v = \dfrac{Mv_0}{M + m}$。
完全非弾性衝突と同じ

くっついて一体で動く衝突も，同じ $v$ になる。
減った運動エネルギー

くっつく衝突で失われる分が，ここではばねにたまる。

ばねが伸びると，運動エネルギーにもどる。

3D の台車の動きは，授業ページ「運動量の保存」の「ばねでつながれた 2 台車」で見られる。

🔄 そのあとの動き

いちばん縮んだあとを追う。図は $M = 2.0\ \text{kg}$，$m = 1.0\ \text{kg}$，$v_0 = 1.5\ \text{m/s}$。

自然長にもどる

$\mathrm{B}$ から見ると，$\mathrm{A}$ ははじめと同じ速さで離れる。
地面から見ると

$$ v_{\mathrm{A}} = \dfrac{M - m}{M + m}\,v_0,\quad v_{\mathrm{B}} = \dfrac{2M}{M + m}\,v_0 $$

図では $v_{\mathrm{A}} = 0.50\ \text{m/s}$，$v_{\mathrm{B}} = 2.0\ \text{m/s}$。
弾性衝突と同じ

運動量も運動エネルギーも，はじめと同じ。

ばね付き台車なら，ここで離れる。

💬 補足

質量が等しい（$M = m$）なら $v_{\mathrm{A}} = 0$，$v_{\mathrm{B}} = v_0$。$\mathrm{A}$ は止まり，速度が入れかわる。

つないだままなら伸びる

伸びたばねは $\mathrm{A}$ を前へ，$\mathrm{B}$ をうしろへ引く。

$\mathrm{B}$ から見た $\mathrm{A}$ は，離れる速さが小さくなる。
いちばん伸びる瞬間

$\mathrm{A}$ はまた止まって見える（相対速度 0）。

切りかわりは，いつも相対速度 0。

💬 補足

このあと，縮む・伸びるをくり返しながら右へ進む。$\mathrm{B}$ から見ると，$\mathrm{A}$ は単振動して見える。

くわしくは「重心の速度の求め方」と，もとの入試問題の解説（リードα 応用問題192）。

いちばん縮む瞬間，2 つは？

❓ 1. 疑問と結論

🎯 結論：2 つは同じ速度（止まらない）

📚 2. 解説と確かめ

👀 解説①：\(\mathrm{B}\) から見ると

🧍 \(\mathrm{B}\) に乗って \(\mathrm{A}\) を見る

➡️ 近づく → 縮む

⏸️ 止まって見える瞬間

⬅️ 離れる → 伸びる

🌍 解説②：地面から見ると

⚖️ 解説③：運動量で速度を求める

🟣 重心の速度と同じ

🧮 確かめ：いちばん縮んだ瞬間，2 つとも止まる？

🔑 まとめ

🔍 3. もっと詳しく

🔋 いちばん縮んだときの縮み

🚃 ばね付き台車の衝突も同じ

🔄 そのあとの動き