物理 > 動く解説 > 物理 第1編 力と運動｜第3章 運動量の保存
なめらかな床の上で，同じ質量 \(m\)〔kg〕の物体 \(\mathrm{A}\) と \(\mathrm{B}\) を，ばね定数 \(k\)〔N/m〕の軽いばねでつなぐ。\(\mathrm{A}\) だけを右へ押し出すと，2 つは伸び縮みしながら進む。振動の周期はいくら？
重心と一緒に動きながら見ると，\(\mathrm{G}\) は止まって見える。
\(\mathrm{B}\) は，壁までの半分のばね（\(2k\)）につながれたばね振り子。\(\mathrm{A}\) も同じ。
なぜ \(\mathrm{G}\) は止まって見えるのか。なぜ \(2k\) なのか。この 2 つを順に見る。
同じ。地上から見ると，重心から見た振動に重心の等速運動が重なるだけ。伸び縮みをくり返す時間は変わらない。
重心が止まって見える理由（解説①），半分のばねの周期（解説②），質量がちがうとき（解説③）の順に見る。最後に，いちばん多い思い違いで確かめる。
外から力がはたらかなければ，重心は等速で進む。その重心と一緒に動いて見る。
床はなめらか。ばねの力は，\(\mathrm{A}\) と \(\mathrm{B}\) がおよぼし合う内力。
内力は同じ大きさ・逆向きで，打ち消し合う。
重心の速度は「全運動量 ÷ 全質量」なので，一定。
重心と一緒に等速で動く人から見ても，慣性系。慣性力ははたらかない。
質量が等しいので，\(\mathrm{G}\) は 2 つのまん中。ばねのまん中の巻き目が，いつも \(\mathrm{G}\)。
重心から見ると，ばねのまん中は動かない。そこに壁があると考えてよい。
重心は，2 つの物体のあいだを質量の逆比に分ける（\(\mathrm{AG} : \mathrm{GB} = m : m = 1 : 1\)）。軽いばねは全体が一様に伸び縮みするので，伸びても縮んでも，まん中の巻き目が \(\mathrm{G}\)。
\(\mathrm{G}\) を壁とみなすと，\(\mathrm{B}\) は壁につながれたばね振り子。つながっているのは半分の長さのばね。
壁（\(\mathrm{G}\)）から \(\mathrm{B}\) までの，半分の長さのばね。
ばね全体を力 \(F\)〔N〕で引くと \(x\)〔m〕伸びるとする。半分の部分も同じ \(F\) で引かれ，伸びは \(\dfrac{x}{2}\)。
$$ \dfrac{F}{\;\dfrac{x}{2}\;} = 2 \times \dfrac{F}{x} = 2k $$
ばね定数は長さに反比例する。\(\dfrac{1}{3}\) の長さなら 3 倍。
\(\mathrm{B}\) が振動の中心から \(X\)〔m〕ずれると，半分のばねも \(X\) 伸びる。力の大きさは \(2kX\) で，ずれと逆向き。
$$ T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}} $$
図は \(m = 2.0\ \text{kg}\)，\(k = 30\ \text{N/m}\)。
\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2.0}{2 \times 30}} \fallingdotseq 1.15\ \text{s}\)
図の上の帯の \(X\) は \(\mathrm{B}\) のずれ，\(k_{\mathrm{B}}\) は \(\mathrm{G}\) から \(\mathrm{B}\) までのばねのばね定数（いまは \(2k\)），\(T\) は周期。
壁から \(\mathrm{A}\) までも半分の長さ。質量 \(m\)，ばね定数 \(2k\) で，\(\mathrm{B}\) と同じ。
2 つは同じ周期で，\(\mathrm{G}\) をはさんで逆向きに振れる。
ショートでは扱わなかった，質量がちがうとき。\(\mathrm{A}\) の質量を \(M\)〔kg〕，\(\mathrm{B}\) の質量を \(m\)〔kg〕とする。手順は同じで，\(\mathrm{G}\) の位置だけが変わる。
$$ \mathrm{AG} : \mathrm{GB} = m : M $$
\(M > m\) なら，\(\mathrm{G}\) は重い \(\mathrm{A}\) 寄り。
伸び縮みしても比は変わらない。\(\mathrm{GB}\) の部分は，いつもばね全体の \(\dfrac{M}{M + m}\)。
ばね定数は逆数倍。\(\mathrm{G}\) から \(\mathrm{B}\) までのばねのばね定数を \(k_{\mathrm{B}}\)〔N/m〕とする。
$$ k_{\mathrm{B}} = \dfrac{M + m}{M}\,k $$
$$ T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_{\mathrm{B}}}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{Mm}{(M + m)k}} $$
図は \(M = 2.0\ \text{kg}\)，\(m = 1.0\ \text{kg}\)，\(k = 30\ \text{N/m}\)。
\(k_{\mathrm{B}} = \dfrac{3.0}{2.0} \times 30 = 45\ \text{N/m}\)
\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{1.0}{45}} \fallingdotseq 0.94\ \text{s}\)
\(\mathrm{A}\) から \(\mathrm{G}\) までのばねのばね定数を \(k_{\mathrm{A}}\)〔N/m〕とする。
$$ k_{\mathrm{A}} = \dfrac{M + m}{m}\,k $$
$$ T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k_{\mathrm{A}}}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{Mm}{(M + m)k}} $$
\(\mathrm{B}\) と同じ周期。
$$ 2\pi\sqrt{\dfrac{m \times m}{2m \times k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}} $$
ショートの答えにもどる。
止まって見える \(\mathrm{G}\) を壁にして，\(\mathrm{G}\) からのばねの長さでばね定数を決める。質量が等しくても，ちがっても同じ手順。
質量が等しいとき，ばね全体の \(k\) で「\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\)」としてよい？ 答える前に，自分の答えを決めてから読む。
ばね全体の \(k\) を使うのは，\(\mathrm{A}\) を動かない壁とみなしたのと同じ。
重心から見ても，\(\mathrm{A}\) は \(\mathrm{B}\) と逆向きに振れる。止まって見えるのは \(\mathrm{G}\)。
\(2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\) は，正しい周期 \(2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}}\) の \(\sqrt{2}\) 倍。
壁は \(\mathrm{A}\) ではなく \(\mathrm{G}\) に立てる。ばね定数は，\(\mathrm{G}\) からのばねの長さで決める（全体の \(k\) ではない）。\(k\) のままでよいのは，\(\mathrm{A}\) がずっと重いときだけ（🔍 3. もっと詳しく）。
ショートでは流した所。知りたい所だけ読む。
動きながら見ると，ふつうは慣性力を考える。重心から見るときに要らないのはなぜか。
見る人が加速度 \(a\)〔\(\text{m/s}^2\)〕で動くと，質量 \(m\) の \(\mathrm{B}\) に慣性力 \(-ma\) が加わって見える。
重心は等速なので \(a = 0\)。慣性力も 0。
重心から見ても，\(\mathrm{B}\) にはたらく水平の力はばねの力だけ。
外から力がはたらいて重心が加速すると，重心から見た立場は慣性系でなくなる。各物体に慣性力を加えて考える。
地上から見た \(\mathrm{B}\) の動きは，2 つの動きの足し算。
\(\mathrm{G}\) は一定の速さで右へ進む。
\(\mathrm{B}\) は振動の中心（点線）のまわりを，周期 \(T\) で振れる。中心は \(\mathrm{G}\) と一緒に進む。
地上から見ると，進みながら振れる。\(\mathrm{B}\) の速さは，\(\mathrm{G}\) の速さを中心に増えたり減ったりする。
壁を考えずに，2 物体の距離の振動として解く道もある。答えは同じ。
右向きを正，ばね全体の伸びを \(u\)〔m〕，\(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{B}\) の加速度を \(a_{\mathrm{A}}\)，\(a_{\mathrm{B}}\)〔\(\text{m/s}^2\)〕とする。
\(Ma_{\mathrm{A}} = ku\)，\(ma_{\mathrm{B}} = -ku\)
\(u\) の加速度は \(a_{\mathrm{B}} - a_{\mathrm{A}}\)。
$$ a_{\mathrm{B}} - a_{\mathrm{A}} = -k\left(\dfrac{1}{M} + \dfrac{1}{m}\right)u $$ $$ {}= -\dfrac{k}{\mu}\,u $$
$$ T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\mu}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{Mm}{(M + m)k}} $$
解説③と同じ周期。
図の \(X\) は重心から見た \(\mathrm{B}\) のずれ。全体の伸びは \(u = \dfrac{M + m}{M}X\) で，\(u\) が振動すれば \(X\) も同じ周期で振動する。
\(M\) が \(m\) よりずっと大きいと，\(\mu \fallingdotseq m\)。\(\mathrm{G}\) は \(\mathrm{A}\) のすぐ近くで，\(\mathrm{A}\) はほとんど動かない。
$$ T \fallingdotseq 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} $$
ばね全体の \(k\) のままでよいのは，この場合だけ。
もとの入試問題では，\(\mathrm{G}\) を壁とみなして，\(\mathrm{B}\) の単振動の周期を出す。